參與過程設計優化學習策略
——以《平行四邊形的判定（1）》教學為例

☉江蘇省金湖縣實驗初中 高峰

參與過程設計優化學習策略
——以《平行四邊形的判定（1）》教學為例

☉江蘇省金湖縣實驗初中 高峰

一、基于參與過程設計的教學分析

“平行四邊形的判定方法（1）”是蘇科版（2014年版）《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級下冊第九章第3節“平行四邊形（2）”的一個重要內容.由于《義務教育數學課程標準（2011年版）》的出版，平行四邊形的判定的內容將3個判定一起出現修改為分兩次出現，并增加了完整的證明過程，但是對3個判定的呈現方式沒有改變.本課內容是平行四邊形判定的第一課時，主要是探索“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”和“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”兩個判定，對此教材設計了如下兩個活動.

活動1：思考：在方格紙上畫兩條互相平行且相等的線段AD、BC，連接AB、DC.你能證明所畫的四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

通過本活動，可使學生經歷操作、探索、猜想、證明，從中體驗通過實驗可探索結論，獲得猜想，但是猜想需要再通過推理進行證明，使學生掌握解決問題一般的思維過程和基本套路，感受合情推理與演繹推理都是人們正確認識事物的兩個重要途徑，它們是相輔相成，缺一不可的.

活動2：交流：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC.四邊形ABCD是平行四邊形嗎？證明你的結論.

通過活動2，可使學生感受到可通過演繹推理去直接探索結論的思考方法，提升演繹推理的能力.

修訂后的編排不僅傳承探究學習的價值，體現“做數學”的理念，而且為學生經歷過程給予更多的體驗的時間.

那么如何將這個優秀的教學資源轉化為優秀教育形態的數學教學呢？需要思考以下兩個問題：首先，要讓學生知道這兩個活動涉及的問題是怎么產生的，能否自己去發現；其次，讓學生明白這個活動是怎么來的，為什么這兩個活動的方式不相同，能否讓學生自主去針對問題設計探究方法，轉化問題，即如何讓學生經歷過程的設計，掌握學習研究問題的策略.

如果教師直接按照課本上的編排出示這兩個活動，學生必然會感覺突兀，學生不能理解為什么要進行這兩個活動，以及這兩個活動是如何來的，那么在離開老師的引導后，學生還能否自主提出這樣的問題進行探究還是個未知數，這時學生獲得的只是“結論”，缺乏對“過程與方法”的深刻感受，所以需要教師適當“補白”，去引導學生體會.

基于此，本節課的活動設計為：（1）引導學生回顧以前學過的幾何圖形研究的內容，明確本節課要研究的內容；（2）回顧以前學過的幾何圖形的性質與判定之間的關系，通過類比根據平行四邊形的性質去探究平行四邊形的判定方法的猜想；（3）引導經歷類比猜想、特殊操作去驗證猜想，最后證明猜想的一般性，理解對猜想進行證明的必要性，提升演繹推理的能力，培養發現問題和提出問題的能力，學會運用數學的思維方式進行思考，掌握研究幾何圖形的“基本套路”.

二、基于教學分析的活動設計

第1階段：借助“先行組織者”明確研究的對象和方法

問題1：方格紙是我們常用的探究工具.請在你手里的方格紙上畫一個平行四邊形，注意：不要畫成長方形和正方形，盡量多畫幾種，然后說一說你這樣畫的理由？

設計意圖：去掉了教材中的要求“兩條互相平行且相等的線段AD、BC，連接AB、DC”，讓學生的思維有一個自主建構的過程.因為學生在畫圖時，一般就是畫圖，他們不會先思考我們要怎樣才能畫出圖形，實際就是先要確定在什么條件下才能得到平行四邊形，也就是平行四邊形的判定是什么？同時明確本節課研究的內容.

這時不管學生是否畫出圖形，說出理由，學生都能體會到，前面自己的操作是盲目的，應該先思后做，這樣思維就經歷了一個從無到有的過程，對這一策略（先思后做）就會有一定的認識，教師再進行適當點撥，親身經歷過后，方能形成經驗.

問題2：研究新問題，我們先回憶一下相關的舊知識.我們前面已經研究了平行四邊形的哪些內容？請同學們回憶一下，并結合圖形進行闡述.

設計意圖：通過回憶平行四邊形的概念和性質，進一步加深對概念和性質的理解與應用，為研究平行四邊形的判定做鋪墊.同時引導學生進一步回憶研究幾何圖形的“基本套路”：用適當的方法產生若干具有代表性的圖形→用抽象、概括的方法得出它們的本質并下定義→用特殊到一般的合情推理的方法猜想性質和判定→用演繹推理的方法證明猜想并用數學語言表示性質→用圖形的相關知識解決具體問題.這個“基本套路”在前一節課時就明確過，并要求學生掌握.同時，培養學生運用已有的經驗解決新問題的習慣.

第2階段：借助“挑戰性問題”探究平行四邊形的判定

問題1：請你寫出一些與平行四邊形的判定有關的猜想命題，請說說你是如何得到的？你選擇其中哪些命題作為首先研究的目標，并說明你選擇它們的理由？

設計意圖：讓學生充分經歷猜想的產生過程，知道通過研究性質的逆命題可以獲得判定.同時，在寫逆命題時，由于原命題的結論不止一個，那么在選擇條件時，能自主地通過反例排除一些容易排除的假命題，能按一定的規律去尋找逆命題，提升數學思維能力，形成一定的思考套路.

先讓學生自主探究，然后引導學生在書寫逆命題時，可以先從性質的結論中選一個作為條件，然后利用反例進行否定，接著從性質的結論中選兩個作為條件，而選擇時可以先從“純元素”和“純關系”入手，如都是邊，都相等，然后“純元素”和“混關系”，如都是邊，可以平行和相等，有序進行思考.通過交流不斷地進行思維調整，促進學生思維不斷的優化，形成自覺的分類意識，即當遇到研究對象不唯一確定時，可按照一定的標準分類進行.最后通過對寫出逆命題進行分析，選擇一些條件簡潔的命題進行真假探究.

問題2：前面我們通過特殊猜想獲得結論，然后用演繹推理證明結論.有時，我們可以直接通過演繹推理的方式獲得結論.下面通過它來探究命題“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”的正確性.

在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？證明你的結論.

設計意圖：進一步體驗演繹推理的作用，通過鼓勵學生進行不同證明思路的交流和討論，不斷發展學生的有條理的思考和有條理的表達能力.

有了前面的活動，本活動的進行，學生一般不會有困難，教學中鼓勵學生用不同的思路進行交流和討論，培養學生思維的靈活性.

第3階段：借助“代表性問題”嘗試有關知識的應用

問題1：如圖1，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，AE=CF.四邊形DEBF是平行四邊形嗎？為什么？

設計意圖：本題是課本例題，比較簡單，方法較多，學過的判定都適用，通過本題的探究可以更好地理解它們.

圖1

先讓學生獨立思考，提醒學生嘗試用不同的方法，交流時引導學生進行方法比較，體會不同方法的特點，培養優化選擇方法的意識，提升優化選擇方法的能力.最后引導學生分析證明途徑，提高分析能力.

在交流的過程中教師可引導：題目中有哪些圖形？你能確定它們的形狀或關系嗎？四邊形DEBF中有哪些條件，還需要什么條件？有幾種方法？

問題2：如圖2，AD∥BC，AD= BC，點E、F分別在AD、BC上，AE= CF，連接BE、DF、CE、AF.圖中有哪些四邊形是平行四邊形？說說你的理由.

設計意圖：本題是問題1的拓展，進一步加深對“圖1”的基本認識，培養學生自覺地利用“舊”問題解決“新”問題的能力，同時培養分解圖形的能力.

先讓學生獨立思考，然后交流，引導學生分析問題2與問題1的聯系并對問題中的引導問題進行思考，并要求學生針對本題，再提出一個新的結論.

圖2

第4階段：借助“探索性問題”進行反思與總結

問題1：請再從與平行四邊形的有關命題中選擇一個真命題并進行證明，選擇一個假命題，舉反例予以說明.

設計意圖：本問題既可以讓學生再一次回顧探究平行四邊形判定的步驟，以及應用已經確定的判定解決問題，加深知識和方法的理解.可引導學生回到第2階段的問題1，和學生一起選擇兩個命題進行探究.

問題2：探究平行四邊形判定的步驟是什么？你在學習過程中感受了哪些數學思想？有何數學活動經驗？

設計意圖：讓學生熟悉研究某類問題的“基本套路”，學會數學地思考問題，培養學生自覺地總結數學思想方法和活動經驗的意識，為研究下面的內容做鋪墊.

三、基于參與活動設計的教學思考

“教學價值是教學設計的靈魂”，我們常常忽視這個數學教學的本質問題.它體現在方法論、價值觀層面上的追求，數學教學的價值不僅僅是教技術、教方法和教技巧，而且還是教發現，培養問題意識，教研究問題的思維方式、解決問題的基本策略及體會數學教育的智慧價值，學會數學的思維方式.

讓學生參與過程設計，就是為了讓學生掌握問題的產生過程，活動設計的一些方法，研究問題的一些基本套路，最終學會數學地思考，優化學習策略，學會學習，學會研究，促進學生學習的可持續發展，培養終身學習的能力.

1.參與過程設計是讓學生體驗問題是如何發現的

當前的課堂倡導以問題情景引導探究，于是課堂上教師拋出一個個精心設計的數學問題，學生在問題的指引下進行自主或合作探究.但是誰想到過，如果沒有教師的設問，學生能發現這些問題嗎？還能進行探究嗎？學生只是覺得教師是一個魔術師.我們是否思考過，這些問題是否能嘗試引導學生去發現并提出來呢？

本節課首先從在方格紙中畫平行四邊形，在部分學生不知道怎么畫和部分學生糊里糊涂畫出，引導學生提出問題“什么條件下的四邊形是平行四邊形”，接著引導學生提出問題“如何根據性質得到判定猜想”，最后引導學生提出“如何驗證與證明猜想”，這些問題不是教師直接提出，而是先設計一些相關活動讓學生產生疑惑，然后師生一起歸納出來.通過參與問題產生的過程，學生的問題意識才會形成，有疑才能問，先要設計相關活動讓學生有疑，然后師生一起分析、提出問題，只有長期經過這樣的訓練，學生提出問題的能力才能提高.

2.參與過程設計是讓學生明白幾何探究基本套路

其實幾何研究是有一些基本不變的模式，即基本套路，按照套路進行，可以使思維更加有序，能獲得啟發.研究幾何圖形的“基本套路”：（1）用適當的方法產生若干具有代表性的圖形；（2）用抽象、概括的方法得出它們的本質并下定義；（3）用特殊到一般的合情推理的方法猜想性質和判定，用演繹推理的方法證明猜想并用數學語言表示性質；（4）用圖形的相關知識解決具體問題.這個“基本套路”要在每一章的第一節課時就向學生明確，并要求學生掌握.如果教師能夠在研究平行四邊形的相關知識時，不斷地滲透這些套路，那么在后面研究其他特殊平行四邊形時，完全就可以放手讓學生自己去完成，達到事半功倍的效果.

3.參與過程設計是真正經歷過程

“數學課程不僅包括數學的結果，也包括結果的形成和蘊含的數學思想方法”.這意味著“過程”是數學課程內容的有機組成部分.依據知識的邏輯體系構建，解析知識的形成過程與形成方法，知識之間的互相關系，知識的數學本質，以及認知所需要的必要條件和支持性等方面，對教學材料進行分析，依據數學發展規律、學生學習數學的認知規律和教育的規律設計教學程序，構建教學結構.這是一個自然、簡單、動態、和諧的數學教育過程，能使學生經歷完整的數學思考過程.運用“教師先組織學生進行有價值問題指導下的有適度指導的自主學習基礎上的合作學習，教師再進行必要的示范、講解、歸納或總結”的適度開放式的教學方法.

本節課的教學價值不僅僅是學生用方格紙畫圖驗證猜想和證明兩個判定，而是學生根據研究幾何圖形“基本套路”，要知道猜想怎么來，如何對待猜想，如何利用特殊情形驗證猜想，了解猜想的可信度，通過演繹推理進行證明.

本節課從研究內容的選擇、方法的選擇、猜想如何得到、為什么用方格紙畫圖的所有活動都是在教師的問題引導下師生共同設計出來的，而不是學生跟著教師重復一遍.

4.參與過程設計是優化學習策略的重要途徑

實踐證明：數學學習中學習策略的優化使用能有效地提高學生的學習成績，有利于培養學生的自主學習能力.課堂教學中，教師應努力構建培養學生自主學習能力的教學框架，挖掘數學知識發生、發展過程中所內隱的策略性知識，多維度設計數學學習策略性問題，充分利用課堂提問的契機，加強策略性問題的提出，促進學生不斷進行相關策略的練習，使學生在學習數學知識的同時進一步深化數學思想方法，培養科學思維品質，在“學會”的同時逐步熟悉“如何學”，不斷提升自主學習數學的能力.

本節課從學科內容和方法維度設計策略性問題，一是與平行四邊形研究的內容有關的問題；二是如何研究平行四邊形的判定方法的問題.這些問題都是研究問題的重要策略，對所有的幾何探究都適用.

1.葉亞美.分析與思考課本素材使用中存在的問題［J］.中學數學教學參考（中），2003（1-2）.

2.鄔云德.立意于“過程”哲學觀的課例［J］.中學數學教學參考（中），2003（5）.W