無中生有
——談函數問題中的構造法

☉江蘇省如皋市第二中學 蘇小強

無中生有
——談函數問題中的構造法

☉江蘇省如皋市第二中學 蘇小強

不等式證明、不等式恒成立等問題是高考常考題型之一，且常以壓軸題的形式出現.有些問題的求解，直接入手較為困難，若能根據待證不等式的結構特征，構造出恰當的輔助函數，從而利用該函數的性質，即可使問題順利求解.下面就其中所涉及的構造法，舉例說明.

一、移項合并，直接構造

點評：利用導數證明不等式是高考中導數考查的一個熱點，通常要把不等式恒成立問題通過構造差函數，轉化為利用導數求函數最值或值域的問題.本題問題（2）需要構造的具體函數比較明顯，只要將需要證明的不等式兩邊的函數相減——作差比較法，建構新的函數，再根據函數的單調性和最值情況，即可證明.

二、分離參數，間接構造

（1）若（fx）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=（fx）在點（1，（f1））處的切線方程；

（2）若（fx）在［3，+∞）上為減函數，求a的取值范圍.

點評：通過變形把參變量單獨分離后再構造，或者通過變更主元實施參變互換后構造新函數.通過構造新函數進而利用函數的圖像和性質去分析、解決問題.構造函數求最值的常用途徑是：借助二次函數（判別式）；分離變量轉化，即利用極端原理，轉化為f（x）＞a恒成立?a＜f（x）min或f（x）＜a恒成立?a＞f（x）max解決.

三、抓住條件形式，一般構造特殊

例3已知函數f（x）的導數f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，下面不等式在R上恒成立的是（）.

A.f（x）＞0B.f（x）＜0

C.f（x）＞xD.f（x）＜x

解析：觀察式子2f（x）+xf′（x）的結構，易聯想到乘積的求導法則，試想（xf（x））′=f（x）+xf′（x），而已知條件中第一項為2f（x），由系數2又可以想到x2的導數為2x，構造函數g（x）=x2f（x），則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），與已知的條件2f（x）+xf′（x）＞x2中不等式左邊的形式可以建立聯系，從而問題得解.

當x＞0時，已知條件兩邊同乘以x，可得2xf（x）+ x2f′（x）＞x3，令g（x）=x2f（x），原條件即為g′（x）＞x3＞0，則g（x）=x2f（x）在（0，+∞）上為增函數，則g（x）＞g（0）＞0，即x2f（x）＞0，所以可得f（x）＞0.

同理，當x＜0時，可得2xf（x）+x2f′（x）＜x3，原條件即為g′（x）＜x3＜0，則g（x）=x2f（x）在（-∞，0）上為減函數，則g（x）＞g（0）＞0，即x2f（x）＞0，得f（x）＞0.

所以選項A正確.

點評：在導數公式中，我們有（f（x）·g（x））′=f′（x）這兩個公式的特點，可輕松解決某些抽象函數問題.本原成兩個函數相除進行求導.這個方法其實就是要我們學會對題目提供的信息進行認真審視與具體分析.

四、多元問題，消元構造

例4函數f（x）是奇函數，且在［-1，1］上遞增，f（-1）=1.若f（x）≤t2-2at+1，對所有的x∈［-1，1］，及a∈［-1，1］都成立，則t的取值范圍是____________.

解析：本題含有三個變量，抽象性強，感到無從入手.由題意依序減元化歸，逐步消元，可以達到目的.

易知f（x）max=1，所以f（x）≤t2-2at+1對所有的x∈［-1，1］，及a∈［-1，1］都成立，等價于1≤t2-2at+1，即t2-2at≥0對所有的a∈［-1，1］恒成立.令g（a）=t2-2at=-2ta+ t2，所以g（a）=t2-2at=-2ta+t2≥0對所有的a∈［-1，1］恒成

點評：當一個題目中有多個變量時，要敢于把其中的一個作為自變量，其余的作為參數來處理，逐步減少參數，使問題得以轉化解決.

五、把握式子特征，變形構造

點評：對于某些問題，直接構造函數可能不便于解決問題，需要對所證的式子進行變形，構造合適的函數，將問題解決.

總之，構造函數是求解導數應用問題的重要方法，而如何構造函數又是構造函數解題的關鍵.本文給出以上幾種構造函數的方法，但是構造函數非常靈活，所以不要墨守成規，要靈活運用多方面的知識，來尋找合適的函數.F