創新函數性質應用的解題方法

☉江蘇省沭陽高級中學高二（302）班 江山

創新函數性質應用的解題方法

☉江蘇省沭陽高級中學高二（302）班 江山

函數的單調性、奇偶性是函數的兩個主要性質，以單調性和奇偶性為背景的命題可謂繽紛多彩，筆者所在學校期中考試過程中以下面兩道題作為該次檢測的客觀壓軸題，但在隨后的試卷評講課上，同學們做出正確結果的比例并不高，尤其是很多同學放棄了函數基本性質所蘊含的方法，而是一味地追尋偏法、怪法.筆者在此將利用函數的性質——單調性，對該題及與之類似的題目做一個統一的解答，呈現于此，供讀者參考.

構造方程f（t）=t3+2013t+1，因為f′（t）=3t2+2013＞0在（-∞，+∞）恒成立，所以f（t）在（-∞，+∞）內為增函數，所以方程f（t）=0只有唯一解，即x-1=1-y，所以有x+y=2.

下面筆者將利用上述函數的性質——單調性來解決一類常遇到的問題.

筆者的同學采用的方法主要有：估計零點范圍；變換同解方程；構造形似等式及對稱法.這些方法解決此題都沒問題，但不能推廣到其他類型題上，筆者借助函數的單調性給出如下解法.

解析：2a=x3+sinx=（-2y）3-sin（-2y），令f（t）=t3+sint，

例2若實數x1滿足方程2x+2x=5，實數x2滿足方程2log2（x-1）+2x=5，則x1+x2=________.

解析：由題意可得，x2是2log2（x-1）+2x=5的實根，所以2log2（x2-1）+2x2=5，變形為+1，再變形因為x1滿足方程2x+2x= 5，所以2設函數f（x）=2x+x，則易知f（x）為嚴格單調增函數，可

對于這種類型的題目也可以借助函數的性質——換元對稱來解決，下面筆者以例2談談自己的一個解法.

運用換元對稱視角求解此題，實際上是想借助數形結合解決此類型題，而在采用數形結合時畫出圖像并理解圖像至關重要，這就需要我們高中生平時多留意函數的一些常見性質.

下面筆者利用函數的單調性結合圖像能直觀地研究圖像的交點，假若能將問題轉化為兩函數的交點問題，這類問題便可以輕松獲解.

分析：利用性質，若函數y=（fx）是單調遞增函數，則函數y=（fx）與它的反函數圖像的交點必在直線y=x上.

函數的性質有很多，筆者作為一名高中生希望借助函數的性質——單調性的應用，去解決一些雙變量方程解的問題及單變量方程解的問題.當然函數的單調性還有很多用途，在此不一一列舉.A