淺議函數(shù)與方程思想的運(yùn)用

☉江蘇省儀征技師學(xué)院教務(wù)處 徐海波

淺議函數(shù)與方程思想的運(yùn)用

☉江蘇省儀征技師學(xué)院教務(wù)處 徐海波

函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，其首次出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)不久.這是一種知識(shí)性的思想方法，將函數(shù)與方程之間建立了橋梁、進(jìn)行了溝通.函數(shù)與方程思想最初出現(xiàn)應(yīng)該是在初高中銜接的一元二次不等式的解法這一內(nèi)容中，從這里學(xué)生清晰地理解了一元二次函數(shù)、一元二次方程，以及一元二次不等式之間的緊密聯(lián)系（如下表），函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化已經(jīng)在頭腦中初具雛形.

判別式Δ=b2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0二次函數(shù)y= ax2+bx+c（a＞0）的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根y y x1 y O x2 x O x1=x2x O x有兩相異實(shí)根x1，x2（x1＜x2）有兩相等實(shí)根x1=x2=-b 2a沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集｛x|x＜x1或x＞x2｝｛x|x≠x1｝｛x|x∈R｝ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集｛x|x1＜x＜x2｝??零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)無(wú)

隨著基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)的深入，我們也發(fā)現(xiàn)了更多的方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，也可以將其轉(zhuǎn)換為不同函數(shù)之間的交點(diǎn)問(wèn)題，這正是提高了將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)換為熟悉問(wèn)題解決的能力.

一、方程問(wèn)題函數(shù)化

中學(xué)數(shù)學(xué)中的方程主要是一次方程、二次方程，以及少數(shù)分式方程、高次方程、無(wú)理方程等.有些與方程相關(guān)的問(wèn)題并不宜直接求解，原因是方程內(nèi)部的變化太巧妙.如：二次方程，用代數(shù)的方式比較容易解決兩正根問(wèn)題，只需要韋達(dá)定理和判別式，但是同樣的方式卻不太容易解決兩根均大于1，很明顯會(huì)將解的范圍進(jìn)行擴(kuò)大，因此利用函數(shù)圖形的運(yùn)動(dòng)變化，可以較為自然地將其內(nèi)部變化分析清楚.

例1已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的范圍；

（2）若方程兩根均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的范圍.

分析：由二次方程y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像觀察，a為1，有2個(gè)實(shí)根就是Δ＞0的情形，再可畫(huà)出相應(yīng)的示意圖如圖1所示，再根據(jù)2個(gè)根所在的區(qū)間求解.

解：（1）由條件，拋物線f（x）=x2+2mx+2m+1，與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，0）和（1，2）內(nèi)，如圖1所示，得

圖1

圖2

說(shuō)明：對(duì)二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，可以采用根與系數(shù)的關(guān)系和判別式解決；比較復(fù)雜的題目，可利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖像尋求條件.二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換研究，主要依賴二次函數(shù)的開(kāi)口、對(duì)稱軸、端點(diǎn)處的函數(shù)值等一系列約束條件，從而輕松地避開(kāi)了求根公式的運(yùn)用.這一類問(wèn)題較為常見(jiàn)，是初學(xué)者需要掌握的.

例2若方程22x+2xa+a+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：筆者將問(wèn)題給學(xué)生觀察，學(xué)生的第一反應(yīng)是對(duì)其進(jìn)行換元，將其轉(zhuǎn)化為二次方程.考慮到換元之后變量的取值范圍，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)問(wèn)題求解；有少數(shù)能力較高的學(xué)生，可以通過(guò)參變分離的方式看透問(wèn)題更簡(jiǎn)潔的本質(zhì)，其本質(zhì)是在自變量變化情形下，求函數(shù)值域的問(wèn)題.

解法1：設(shè)t=2x（t＞0），則原方程可變?yōu)閠2+at+a+1=0（*），原方程有實(shí)根，即方程（*）有正根.令f（t）=t2+at+a+1.得-1＜a≤2-2√2；②若方程（*）有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根（負(fù)實(shí)根，不合題意，舍去），則（f0）=a+1＜0，解得a＜-1；③當(dāng)a=-1時(shí)，t=1，x=0符合題意.綜上，a的取值范圍

說(shuō)明：本題的解法1較為常規(guī)地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)處理，考慮到對(duì)稱軸并非確定，因此必須對(duì)函數(shù)的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，此法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)思維的要求并不高，但是必須介入分類討論思想；解法2將問(wèn)題上升到一個(gè)全新的高度，對(duì)于“a=f（x）有解”型問(wèn)題，可以通過(guò)求函數(shù)y=f（x）的值域來(lái)解決.

二、函數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

如果說(shuō)方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的話，那么函數(shù)問(wèn)題如何借助方程進(jìn)行處理呢？有些函數(shù)直接處理是較為煩瑣的，我們可以借助方程將其進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為熟悉的函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決.

（1）若y=g（x）-m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；

（2）確定m的取值范圍，使得g（x）-（fx）=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

解析：（1）若函數(shù)y=g（x）-m有零點(diǎn)，那說(shuō)明函數(shù)y= g（x）跟函數(shù)y=m有交點(diǎn)，函數(shù)g（x）=（x＞0）的大致圖

像如圖3所示，由圖可知y=g（x）是不變的函數(shù)，所以只要函數(shù)y=m在2e上面即可，所以m≥2e.

圖3

圖4

（2）由（1）可知要使g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根，則y=f（x）與y=g（x）的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)閒（x）=-x2+ 2ex+m-1=-（x-e）2+m-1+e2，所以其圖像的對(duì)稱軸為x=e，開(kāi)口向下，最大值為m-1+e2.畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的大致圖像，如圖4所示，故當(dāng)m-1+e2＞2e，即m＞-e2+2e+1時(shí)，函數(shù)g（x）與f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，所以m的取值范圍是（-e2+2e+1，+∞）.

說(shuō)明：我們較為巧妙地將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不同函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決，這種將單一函數(shù)拆變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)的解決方式，一直是處理稍難函數(shù)的常規(guī)手段.隨著問(wèn)題解決方法的多樣性學(xué)習(xí)，后續(xù)還有更巧妙的知識(shí)工具使用，諸如運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、方程根問(wèn)題，限于篇幅不展開(kāi)贅述.

總之，函數(shù)與方程是緊密聯(lián)系的兩個(gè)知識(shí)，函數(shù)與x軸相交的交點(diǎn)恰為其方程的根，因此可以將方程看成是函數(shù)值為0的特殊情形，研究函數(shù)零點(diǎn)也就變成了研究方程的問(wèn)題；反之，方程是函數(shù)的特殊位置，解決方程問(wèn)題可以利用圖像的特征和變化，因?yàn)橹庇^化的圖形思維才是問(wèn)題解決最容易接受和最容易分析的.因此總體而言，函數(shù)與方程的思想在解決零點(diǎn)、根等問(wèn)題時(shí)，我們盡可能將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)圖形或分解為多個(gè)函數(shù)進(jìn)行求解，這正是高中數(shù)學(xué)以函數(shù)章節(jié)為核心的重要體現(xiàn)，也是教師教學(xué)這一內(nèi)容需要積極關(guān)注和滲透的.限于篇幅，筆者未就零點(diǎn)相關(guān)的其余問(wèn)題展開(kāi)敘述，請(qǐng)讀者對(duì)本文拙見(jiàn)給出補(bǔ)充.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2002.

2.李大.運(yùn)用整體思想求數(shù)列［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（10）.F