割線斜率和區(qū)間中點處切線斜率關系的探究

☉江蘇省高郵市第一中學 劉鴻春

割線斜率和區(qū)間中點處切線斜率關系的探究

☉江蘇省高郵市第一中學 劉鴻春

在近幾年的高考和模考中，探究曲線割線的斜率和區(qū)間中點處切線斜率的關系的試題時有出現(xiàn)，它們往往作為壓軸題來甄別學生的數(shù)學能力，主要考查學生綜合運用函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識，以及分析問題、解決問題的能力.學生普遍覺得這類問題難度較大，解決它們到底有沒有規(guī)律可循？這類問題的背景到底是什么？它們是如何由簡單到復雜演變的？下面開始我們的探究之旅.

一、背景揭示

我們先從常見的基本函數(shù)出發(fā)進行探究，然后考慮它們的線性組合.

結論1：若函數(shù)f（x）是定義在（a，b）上的可導函數(shù)，斜率為k的直線l交f（x）的圖像于A、B兩點，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），x1＜x2.

結論2：若函數(shù)f（x），g（x），F(xiàn)（x）都是定義在（a，b）上的可導函數(shù)，F(xiàn)（x）=λf（x）+μg（x），λ、μ∈R，斜率為k1的直線l1交f（x）的圖像于A、B兩點，斜率為k2的直線l2交g（x）的圖像于C、D兩點，斜率為k的直線l交F（x）的圖像于M、N兩點.A、C、M的橫坐標都為x1，B、D、N的橫坐標都為x2，x1＜x2，則：

二、試題分析

例1（2011年遼寧高考數(shù)學理科）已知函數(shù)f（x）=

（2）若方程2xlnx+mx-x3=0在區(qū)間］內(nèi)有兩個不相等的實根，求實數(shù)m的取值范圍；（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

（3）如果函數(shù)g（x）=（fx）-ax的圖像與x軸交于兩點A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求證：g′（px1+qx2）＜0（其中，g（′x）是g（x）的導函數(shù)，正常數(shù)p，q滿足p+q=1，q＞p）

例3（2012年江蘇數(shù)學模擬試卷一）已知直線x-y-1=0為曲線f（x）=logax+b在點（1，f（1））處的一條切線.

（1）求a，b的值；

（2）若函數(shù)y=（fx）的圖像C1與函數(shù)g（x）=mx+（n＞0）的圖像C2交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，其中x1＜x2，過PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，設C1在點M處的切線的斜率為k1，C2在點N處的切線的斜率為k2，求證：k1＜k2.

例4（2014年南京三模）已知函數(shù)f（x）=lnx-mx（m∈R）.

（1）若曲線y=f（x）過點P（1，-1），求曲線y=f（x）在點P處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，e］上的最大值；

（3）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2，求證：x1x2＞e2.

即得x1x2＞e2.

例5（2014年南通二模）設函數(shù)（fx）=ex-ax+a（a∈R），其圖像與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2.

（1）求a的取值范圍；

三、結束語

理解了結論1、結論2，我們不但可以洞悉例1～例5的本質，而且可以很容易編制類似的問題，舉一例如下：

例6已知函數(shù)f（x）=ex+alnx+（a-1）x，

（1）若a=0，求f（x）的極值.

（2）已知f′（1）-f（1）=1，直線l和f（x）圖像的三個交點從左到右依次為A，B，C，這三點的橫坐標分別為x1，x2，

1.崔志榮，吳彤.揭示背景，改編考題——記2011年遼寧省高考數(shù)學壓軸題的本質探究［J］.數(shù)學通訊（下），2014（3）.

2.顧衛(wèi)，朱自梅.會當凌絕頂，一覽眾山小——從一道高考模擬題的命制背景談起［J］.數(shù)學通訊（下），2015（2）.F