解題得以優(yōu)化源于策略得當
——簡解圓錐曲線問題的幾種策略

☉江蘇省大豐高級中學 陳建圣

解題得以優(yōu)化源于策略得當
——簡解圓錐曲線問題的幾種策略

四、結(jié)束語

各樣的錯誤，成為學生學習上的阻礙，產(chǎn)生了數(shù)學知識學會了但數(shù)學題仍舊不會解，數(shù)學知識和解題能力脫節(jié)，教師這時就應(yīng)幫助學生用效果好的模型將知識與解題能力充分地結(jié)合起來.波利亞解題模型有較好的實用性和指導性，在教學中利用這種模型，可以將解題步驟細化到具體步驟.以上本文則對波利亞解題模型在高中數(shù)學解題教學中的應(yīng)用展開了詳細探討，以供參考.F

☉江蘇省大豐高級中學 陳建圣

在圓錐曲線問題的解答中，極易出現(xiàn)思路正確，但因運算過程繁雜，導致半途而廢的現(xiàn)象，因此，解答圓錐曲線問題時，解題策略的選擇應(yīng)以減少計算量為準則，解題策略的選擇是否恰當，對優(yōu)化解題過程、簡化圓錐曲線運算量起著關(guān)鍵作用.下面提供幾種策略，供讀者參考.

一、緊扣定義，化生為熟

例1（2015年浙江高考）如圖1，設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（）.

圖1

點評：數(shù)學中的定義是構(gòu)建數(shù)學知識的基石，也是解答相關(guān)問題的工具.因此在解答某些圓錐曲線問題

波利亞解題模型在高中數(shù)學解題中的實踐證明：應(yīng)用波利亞解題模型可提高學生的解題效率，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力，符合新課改要求.高中數(shù)學解題是學生學習數(shù)學的一個重要環(huán)節(jié)，解題過程中經(jīng)常會出現(xiàn)各種時，如能靈活、巧妙地應(yīng)用圓錐曲線的定義，不僅能深化對圓錐曲線概念的理解，而且還能提高分析和解決數(shù)學問題的能力，進而拓展思維，迅速解題.

二、挖掘本質(zhì)，熟中生巧

解析：雙曲線的右焦點為F（2，0），過點P與x軸垂直的直線為x=2，漸近線方程

三、把握關(guān)聯(lián)，簡化計算

例3已知動圓C經(jīng)過點F（0，1），并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點，則圓C的最小面積為_________.

分析：由題目條件中的動圓經(jīng)過點F（0，1）且與直線y=-1相切，即圓心C到點F的距離與到直線y=-1的距離相等，不難聯(lián)想到拋物線的定義，故點C的軌跡為拋物線x2=4y，根據(jù)點、直線間的距離公式列出方程求r的最值來求解.

解：由拋物線的定義知點C的軌跡方程為x2=4y，設(shè)C到直線3x-4y+20=0的距離d=最小為2，故圓的最小面積為4π.

四、抓住關(guān)鍵，不戰(zhàn)而勝

例4（2015年北京高考模擬）若雙曲線M上存在四個點A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，則雙曲線M的離心率的取值范圍是________.

解析：如圖2，若雙曲線M上存在四個點A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，則漸近線的斜率大于正方形對角線的斜率，雙曲線離心率的范圍是

圖2

點評：圓錐曲線中對于某些關(guān)鍵的點和線的位置十分重要，有些不但可以簡化運算過程，甚至可以起到不攻自破的解題效果.

五、執(zhí)果索因，逆向探究

（1）如果點M是橢圓W的右焦點，線段MB的中點在y軸上，求直線AB的方程；

解析：（1）略.

（2）由題意，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則B（1x2，-y2）.

所以kNA-kNB1=0，所以點A，N，B1三點共線，即點B與點C關(guān)于x軸對稱.

點評：探索性問題是高考中圓錐曲線命題中的常考題型之一，此類問題若正面求解，常感無從下手，此時若從問題的結(jié)論出發(fā)，可使解題思路瞬間明朗.如本題執(zhí)果索因：若點B與C關(guān)于x軸對稱，則易知直線NB與NC關(guān)于x軸對稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，因此可將問題轉(zhuǎn)化為判斷kNB+kNC=0，從而使問題清晰簡潔得解.

綜上，圓錐曲線的運算問題綜合性強，能力要求高，要求學生在處理問題時既要從整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學思想，又要在細節(jié)上能熟練運用各種數(shù)學方法與技巧.因此掌握一些簡化圓錐曲線運算的策略，對優(yōu)化解題過程，提高運算效率大有裨益.F