波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用

☉浙江省嵊州市黃澤中學 袁鋼南

波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用

☉浙江省嵊州市黃澤中學 袁鋼南

21世紀我國基礎教育進入到新課改時代，想要對當前時代發展需求有效滿足，就必須要對傳統應試教育中存在的問題徹底改善，教學目標集中在培養學生健全人格上，在這一基礎上就要完善新的基礎教育體系.其中在高中數學解題教學過程中，對波利亞解題模型進行應用，有助于引導學生正確把握數學解題思路.波利亞解題模型體現了它的解題思想，它的解題思想主要表現為四個過程階段：閱讀題目、理解題目；得出解題思路、制定解題計劃；實施解題計劃；回顧解題過程.清楚了這種模型的具體解題思路之后，我們將以具體實例來闡述這種模型的運用.

一、波利亞解題模型的理論研究

波利亞是一位經典分析大師，在變分學、概率論及函數論等多方面有深入研究，波利亞解題思想較豐富，其中最為經典的專著有《數學的發現》、《數學與猜想》及《怎樣解題》等，其中《怎樣解題》中的解題模型及解題表具有重要的應用價值.在波利亞解題模型中，將解題過程分為四個階段，即理解問題、制定計劃、實施計劃及回顧分析.其中第一階段，理解問題要弄清已知條件是什么，問題是什么.如：解決應用題時，采用數學語言將題目描述出來，并且還要對其中的已知條件和未知條件等明確.在對題目弄明白之后，就要對大腦中的相關知識點進行搜索定位，確定具體的解決方式.第二階段就需要針對這些問題制定相應的計劃，應理解條件中各個要求有怎樣的聯系，或者未知量與已知量有什么關系等.可從尋找模型、尋找技能、轉化題目三方面進行，也是指找到與此題目相類似的問題，并從相關解題中獲得啟發，深入分析題目的問題及條件等，查看是否有合適的思想方法及技能，尤其在遇到較為復雜的問題時，可將其轉換為比較熟悉的模型，對其進行解決.第三階段，實施制定的計劃，在已形成的解題思路及解題方案的指引下，采用已學知識、技能及原理等解決問題.第四階段，則需要對整個解題過程進行回顧性分析及總結，主要要求學生怎么理解問題，形成怎樣的解題思路，以及如何檢驗所得問題的結果，本題是否還隱藏有其他的解決辦法.

二、波利亞解題模型在高中數學解題中的常用模式

1.疊加模式

這種模式通常是將其具體情況分解成相關的幾個特殊情況組合，或者是把相關的特殊情況全部疊加在一起集合成為一般情況，之后采用相適應的方式對其進行解決.

例1如果一個物體做拋物線運動，其軌跡如圖1所示，那么將其初始速度設置成v，求物體運動曲線的軌跡方程.

解析：關于這一題目可采用疊加模式進行解決，由于物體的運動軌跡是一條曲線，并不是圓弧.當一質點在水平方向實施勻速直線運動的時候，如果運行t秒之后，那么其位移則可以用公式x=vt表示，但是關于其運動軌跡也可以將其看成是兩種運動

圖1

2.遞歸模式

這種模式應用通常是在數列求和中，在高中數學解題中此類題型是較為常見的題，解決此類題目時需要應用遞歸模式.

例2求S2=12+22+32+42+52+62+……+n2的和.

解析：針對此題的解題方式我們可采用遞歸模式來進行求解，此時，公式（n+1）3=n3+3n2+3n+1，從而得出（n+ 1）3-n3=3n2+3n+1，將具體數值帶進去，即可得到23-13=3× 12+3×1+1；33-23=3×22+3×2+1，43-33=3×32+3×3+1，…，以此類推，即可得到（n+1）3-n3=3n2+3n+1，將兩邊相加，得到（n+1）3-1=3S2+3S1+n.最后將S1帶入到上式中，可得到

3.雙軌跡模式

這種模式通常是在數學幾何解題中應用，可以將問題成功轉化成一個點進行解決，依照具體條件能夠將其分成若干部分，不管是哪一個部分都可以將其轉化成為點的軌跡，并且每一個點的軌跡可以是一條直線，也可以是一個圓等，在對滿足條件的若干軌跡的交點也即是需要求解的問題.

例3已知三個相等并且不在同一直線上的圓，作一圓使得包含其他三個，并且與三個圓均相切.

解析：對于此道題，要想實現與其他三個圓均相切，則必須找到相應的圓心及半徑即可，根據圓心及半徑作圓就較為簡單.因此，本題的解題關鍵就是尋找圓心及半徑.可假設作出圖2.在該圖中O假設為要找的圓心，而O1、O2、O3為已知圓的圓心，其中A、B、C均為切點.即OA= OB=OC，所代表的也就是圓的半徑.之后，依照以上題目中的已知條件，可以得到三個小圓的半徑均相等，即O1A=O2B=O3C，也表示OO1=OO2=OO3.這樣一來，將問題轉化為：已知圓心O1、O2、O3三點，作與它們的距離相等的點O，如圖3，換句話來說，求出△O1O2O3外接圓的圓心.最終，將此道題可轉換為我們之前解答的題目，就可以很簡單地將圓作出來了.

圖2

圖3

三、高中數學解題中應用波利亞解題模型的基本思路

1.理解題目

理解題目就要理解題目給出的條件，理解題目的語言陳述，首先要清楚已知數據、未知條件和題干條件都分別是什么.進而要深層次地分析題目，弄清題目中的細節，對要求的問題進行定位.學生在清楚明白這些要求和條件之后，就要思考解題思路、運用數學方法進行解題.下面將以實例對理解題目進行詳細的闡述.

例4將直線2x-y+λ=1沿x軸向右平移1個單位，所得直線與圓x2+y2+4x-2y=0相切，求實數λ的值.

（1）首先，這道題目自身就是用數學語言來表達的題目，所以不用將其轉化為數學問題.

（2）然后，我們可以得知條件有兩個，一是直線2xy+λ=1沿x軸向右平移1個單位，另一個是平移之后的直線與圓x2+y2+4x-2y=0相切，問題是求出實數λ的值.

（3）題干條件和所要求的問題都清楚明白之后，就需要對題目范圍進行判定.將兩個具體已知條件列出來，將題目答案的范圍確定，應為實數.

2.解題思路與解題計劃

制定解題計劃是這一步的主要任務和內容，對于問題的理解之后，就是構思解題思路，形成良好的解題思路需要良好的知識儲備和經驗儲備，加強對模型的積累和思想方法、技能的積累，制定思路時可以想想是否曾經遇到過相似的題目，看是否能從中得到一些啟示，來形成自己的解題思路.解題思路和解題計劃的制定需從三方面入手：尋找類似的模型；尋找相關的技能和思想方法，對題目條件進行深入思考分析，看是否有相應的技能和思想方法；將題目進行適當的簡化與轉化，轉化為熟悉的模型，然后進行解題.

例5已知a1=2，an+1=2an+5n，求數列｛an｝的通項公式.

（1）第一步是將解題思路具體化，找出解題的合適模型.通過觀察題干給出的條件，我們可以選擇待定系數法來進行構建新模型，可推出參考量an+1=2an+5n，然后再構造出新數行數學計算解答.

（2）找到類似的模型之后，就需要將現有不熟悉的模型轉化為簡單熟悉的解題模型，轉化模型本題要用的是待定系數法，那么應使第三項變為常數項，因此將兩邊同除以5n，得而轉化為5bn+1-2bn=1這種模型來解題.

3.實施解題計劃及解題回顧

實施解題計劃是具體的實施過程，實施過程中會遇到各種各樣的問題，所以在進行實施解題方法時，我們應該認真思考以前解題時可行的代數或者是幾何運算，用形式推理或者是直接觀察，再或者是兩者的結合將解題步驟確定并進行檢驗，將解題思路與方法在具體運算中高效地結合

解題回顧，顧名思義就是在解決完一個問題后回過頭來檢驗自己的解答過程和解答的答案是否正確，這是經常被學生和教師忽略的.做題不能只是做題，還要從做題中深層次地挖掘出一些可總結、可利用的東西，這些東西可以指導著以后求解的其他問題，解題者不能只停留在對當前這一個問題的解答，而是要深入理解和思考如何解答這個問題，以及尋找更加簡便的解題思路和解題途徑，對于解題過程中的障礙要充分發揮已學知識和數學思想的作用，使解題更快更對.