融入數學文化演繹精彩課堂

☉江蘇省海州高級中學 徐進勇

融入數學文化演繹精彩課堂

☉江蘇省海州高級中學 徐進勇

數學文化從狹義上講是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展；廣義上除了上述內涵以外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育，以及數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等.［1］

數學文化是新課程的基本理念，數學文化被看作是理解數學的一種途徑.《普通高中數學課程標準（實驗）》把數學文化作為教學內容并提出教學要求，明確指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當介紹數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.”數學課程改革的一個重要的標志就是數學文化走進了數學課程標準和中小學數學教科書.數學文化具有極強的內在邏輯性、歷史發展的延續性和廣泛的外部聯系，教師可以挖掘數學課程中許多模塊的獨特文化背景，利用問題、方法的背景或者產生的曲折歷程，融入課堂教學之中，發揮激情、引趣、啟真、促思功能，使課堂教學更具探究性、趣味性、應用性.下面談談數學文化在教學中的應用.

一、追求知識本源

數學知識的產生與發展必有其前因后果.作為數學教師不僅要透徹地了解他們所教的那一部分數學，而且還應從宏觀上來認識數學知識的發生與發展，從而能夠知其然也知其所以然，才能教其所以然.教師在引導學生學習一些常見的數學概念、公式和方法時，如果能夠指出它們的來源、典故及歷史演變過程，并以此創設恰當的情境引入新課，把看似簡單的教材還原成豐富多彩的教學內容，讓學生感受數學思想方法中閃爍的智慧，欣賞到數學的外在形式與內在的美，在迫切的愿望下參與教學，這些都是高質量的文化傳承，也是無痕的育人.例如，當我們講到解析幾何這一章時，可以先講解析幾何的產生和發展的過程，當然也要介紹解析幾何的創始人笛卡兒，講述笛卡兒發明坐標系的過程.在講復數時我們可以從1545年意大利數學家卡爾丹提出的問題“把10分成兩部分，使其乘積為40”出發，引出數系的發展過程，再講到大數學家柯西.在講授“古典概率”時，可以借助數學史引入主題：十七世紀，法國貴族德·梅耳非常喜歡拋擲骰子賭點數大小來賭博，在經常拋擲的過程中，發現了一個令他困惑的問題：他把一個骰子連續拋了四次，發現至少出現點是六的時候多一些；可是他同時將兩個骰子連續拋了24次，發現至少出現點數是雙六點的時候要少一些.這是怎么一回事呢？這就是概率論歷史上著名的德·梅耳問題.但他自己無法給出答案，于是就寫信給當時的法國數學家Pascal（帕斯卡），Pascal和當時的一流數學家Fermat（費爾馬）一起通信討論.后來荷蘭科學家Higgins（惠更斯）來到巴黎聽說這個問題，覺得這個問題也有意思，對此進行了研究.1657年，他寫了自己研究問題的專著《論賭博中的計算》.應該說帕斯卡、費爾馬、惠更斯是早期概率論的創始人.至此提出問題：你能幫德·梅耳解決他的困惑嗎？這樣引入，不僅使學生增長見識與提高興趣，更有利于學生對新知識的接納與理解，學生學的高興、學的自然.

二、啟迪數學思考

文化是具有傳承性的，數學文化也不例外.高中數學內容中的數與形、曲與直、常量與變量、連續與間斷、有限與無限、抽象與具體、偶然與必然等內容都體現了辯證法中的同中有異、異中有同、相互轉化的思想，凝聚著數學前輩們對數學本質的認識和數學地解決問題的策略，值得我們學習、借鑒.

案例1蘇教版必修5“等差數列的前n項和”，課本是這樣引入的：某倉庫堆放一堆鋼管，如圖1，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計算這堆鋼管的總數呢？假設在這堆鋼管旁邊倒放著同樣的一堆鋼管，如圖2，這樣，每層的鋼管數都等于4+9，共有6層，從而原來一堆鋼管的總.然后再提出：如何求等差數列｛an｝的前n項和Sn？

圖1

圖2

看起來極為普通和常見的計算鋼管總根數的問題，通過一幅圖向我們展示了等差數列求和的具體方法——倒序相加法.這種直觀演示形象、具體、自然，學生容易接受，學生不僅掌握了數學知識，體會到數學方法，更是領悟到數學的妙趣.數學家華羅庚對“數形結合”思想方法進行這樣的精辟總結：“數形本是相倚依，怎能分作兩邊飛；數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休；幾何代數統一體，永遠聯系莫分離.”至此，教師也可以插入數學小故事：德國的“數學王子”高斯如何計算：1+2+3+…+100.通過這樣的啟發引導，此時學生學習思路被打開，學習興趣被激發，學習熱情被點燃，學生在體驗中學習和感悟到數學思想方法，在愉悅中放飛思維，而這種思想方法的掌握還有利于研究下一章等比數列的求和.

三、突破思維瓶頸

數學在其長期的發展過程中，形成了許多數學觀點中的數學文化.如“對稱”觀點、“類比”觀點、“數理統計”觀點、“數學機械化”觀點、“相容性、獨立性和完全性”觀點等，它們對數學地解決疑難問題提出了新思路、新視角、新觀點.

案例2在立體幾何學習中，學生提出問題：4個平面最多把空間分為幾個部分？

這是數學觀點中典型的“分割問題中的類比”問題.為此，教師“順帶”學習蘇教版必修2立體幾何章節后閱讀材料“平面幾何與立體幾何的類比”，內容如下：類比是根據兩個對象在某些方面的相同或相似，推出它們在其他方面的相同或相似點的一種推理方法.平面幾何和立體幾何在研究對象和方法、構成圖形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在兩者之間進行類比是研究它們性質的一種非常有效的方法.為解決學生提出的問題，我們想到了空間四面體，如圖3，把四面體的四個面延展成四個平面，就能把空間分為最多的部分了.那么現在把空間分成幾個部分呢？暫難想象.由此我們想到類比“直線分割平面”的情形.引導學生思考：3條直線最多把平面分為幾個部分？這可以把三角形的三條邊延長為直線，得3條直線最多把平面分為7個部分，這7個部分的特點：一個是有限的部分，在三角形內部，即①；其余6個是無限的部分，其中②，③，④與三角形有公共頂點，⑤，⑥，⑦與三角形有公共邊，如圖4.

圖3

圖4

在上面推理的基礎上，類比考慮四面體的4個面延展成4個平面，把空間分為幾個部分：有限部分（四面體內部）數為1；無限部分與原四面體或有一個公共頂點（有4個部分），或有一條公共棱（有6個部分），或有一個公共面（有4個部分），于是所分空間總的部分數為15.當然，這是一種合情推理，還需要用演繹推理分析證明這一猜測，分析方法仍需要類比直線分平面、點分直線，從而尋找到它們間的一種數量關系，得n個平面最多把空間分為（n3+5n+6）個部分.可見，“類比”是獲得新思路、新發現的一種觀點、一種手段.掌握“類比”的觀點，學會“類比推理”的方法，是提高學生創新能力的一種有效途徑.

四、拓展探究空間

知識是不能現成地傳遞的，而要回到它的經驗狀態，通過學生的親身體驗實現轉化.這樣，學生理解得會更透徹，掌握得更靈活，同時也能引起學生興趣，產生學習的內驅力.

案例3蘇教版必修1“對數”一節中，對概念的學習，教師大都通過指數，如指數函數解決了2b=？的問題，反之，如果知道2b=8，2b=9，如何求b？一般地ab=N，如何求b？從而引出對數的概念.

事實上，歷史中對數的發明背景是為簡化計算而產生的，實質是化乘除為加減，化乘方、開方為乘除運算，為此，若將這段數學史融入教學可作如下設計：

問題1：計算：（1）32×256=？（2）4096÷128=？

教師介紹：16世紀前期，歐洲人熱衷于地理探險和海洋貿易.特別是地理探險需要更為準確的天文知識，對計算速度和準確度的要求與日俱增，人們希望將乘除法歸結為簡單的加減法.

問題2：嘗試改寫，使運算簡化.

問題3：如何計算36×365=？

學生：如果能知道2的多少次方等于36和365，就可算出結果.

老師：是的，實際上在17世紀人們就制作了這樣包含足夠多數字的表格，通過查表的方式解決上述問題，這期間有許多人為了制作這樣的一張精確的表格而獻出了自己畢生的精力，從而達到將計算化繁為簡的目的.當然36也可以用其他數作底來表示，如36=10x，36=ax等.為了表達x，蘇格蘭數學家納皮爾（1550～1671年）發明了對數，并于1614年在《論述對數的奇跡》中，介紹了他的方法和研究成果.在納皮爾著作發表40年后，對數傳入我國，并逐步演變成對數，意指“對照表中的數”.然后教師再給出對數的具體概念.［2］

這樣的引入給學生展示了一個波瀾壯闊的大時代，使學生逐步認識對數發明的意義和對數的發展歷史.還原了知識形成的過程，創設了數學問題的探究空間.可見，將數學文化融入課堂，可以將新課程“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”這三維目標互相影響、互相作用、有機整合，從而有效地培養學生的數學科學文化素養，發展學生的實踐能力和創新精神.

五、增強實際應用

弗賴登塔爾則強調：“要保證有活力（是指數學知識的活力），就必須教給學生充滿著聯系的數學.”數學源于生活，又高于生活，數學文化的意義不僅在于知識本身和它的內涵，更由于它廣泛的應用價值.如近年來，國家對食品、禮品的包裝提出“摒棄奢華包裝，力求樸素節儉”.筆者以此為背景，在導數的應用中安排了一節數學應用課.

案例4實際包裝中的數學.

問題1：如圖5，有一個各條棱長均為a的正四棱錐，現用一張正方形包裝紙將其完全包住，不能剪裁，但可以折疊，則包裝紙的最小邊長是多少？

圖5

問題2：某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝.要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱錐的頂點，如圖6所示.設正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm3.在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值.

圖6

體驗2011年江蘇數學高考題第17題：請你設計一個包裝盒，如圖7所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

圖7

（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm2）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

從教學的效果來看，學生不僅獲得了用數學知識解決實際問題的方法與喜悅，還感受到數學圖形的對稱美、數學方法的統一美，增強了學生的“節約”意識.事實上我們常見的市場銷售問題、用水用電問題、運輸問題、稅收問題、醫療費用問題、銀行儲蓄問題等，都是以生活實際為背景的，這些教學的具體素材，可以使學生進一步了解數學科學與人類社會發展之間的相互關系，體現數學工具性、價值性、科學性和人文性，使數學教學血肉豐滿，真正做到教書育人.

六、激發學習熱情

數學教育如果過于注重數學的形式化、邏輯性，會讓學生感到數學是“冰冷的美麗”，從而忽視數學教育在培養學生人文素養方面的作用，把數學中的“火熱的思考”、重要的人文價值泯滅在其中.數學課堂教學中如能恰如其分地引用數學故事定能突破數學課堂的單調，營造出富有文化氣息的課堂氛圍，達到以知促情、知情結合的目的.如通過介紹數學家獲得真理的艱苦過程，使同學們知道每一個定理背后的艱辛.這些對于同學們自己去克服困難，發現問題是非常有利的.我國數學家華羅庚十九歲那年，因病左腿殘疾，走路要左腿先畫一個大圓圈，右腿才能再邁上一小步，對于這種奇特而費力的步履，他曾幽默地戲稱為“圓與切線的運動”，逆境中他頑強地與命運抗爭，誓言是：“我要用健全的頭腦，代替不健全的雙腿！”他把自己的畢生精力，投入到發展祖國的科學事業特別是數學研究事業之中.他一生為我們留下了200余篇學術論文，10部專著，其中8部為國外翻譯出版，有些已列入本世紀數學經典著作之列.他的名字已載入國際著名科學家的史冊.數學家陳景潤身居陋室，但為了攻破歌德巴赫猜想這一世界數學難題，不斷演算，通過努力終于摘取了數學皇冠上的明珠，他們是中國科學界的驕傲，是中華民族的驕傲！我們在高中數學教學中恰當引入數學家的故事并不期望每一位學生都成為數學家，但數學家的奮斗經歷與對數學的癡愛之情將培養學生對數學的興趣，激發學習數學的動機.

七、領會美學價值

數學是美的.數學概念的簡潔性、嚴格性，結構系統的協調性、統一性，數學命題和數學模型的概括性、典型性和普遍性，數學中的奇異性等，把自然規律抽象成一幅幅現實世界與理想世界的完美圖像，構成了美麗動人的數學世界.

案例5蘇教版必修2“圓的方程”課后練習中有這樣一道題：已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，那么點M的坐標應滿足什么關系？畫出滿足條件的點M所構成的曲線.我們知道點M所構成的曲線就是阿波羅尼奧斯圓.江蘇高考數學卷2005年、2008年、2013年均以此為材料出題，體現數學文化在高考試題中的融入，引起了廣大教育工作者的關注.筆者以此為契機，作以下介紹：已知平面上兩點A、B，則所有滿足=k（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現，又稱阿氏圓.后人把阿波羅尼奧斯（公元前262～前190）、歐幾里得、阿基米德合稱為亞歷山大前期三大數學家.阿波羅尼奧斯對圓錐曲線的研究十分系統、完美，寫成了《圓錐曲線論》八卷，將圓錐曲線的性質網羅殆盡.他將橢圓、雙曲線、拋物線統一定義為：平面上到一定點的距離與到不過該定點的定直線的距離之比為常數e的動點的軌跡；從空間曲線的角度去觀察它們，發現可以統一地用平面去截對頂圓錐而得到；在極坐標下它們的標準方程可以統一為：在直角坐標系下，方程可以統一為：（1-e2）x2+y2-2e2px-e2p2=0.17世紀的開普勒和18世紀的歐拉用運動、變化觀點，把各種圓錐曲線看作在同一個系統中的看法：圓、橢圓、拋物線、雙曲線和由兩相交直線構成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續地變為另一個，只需要考慮焦點的各種移動方式（多媒體展示）.科學家的研究讓我們看到：只有抓住了不同事物的共同本質，才能用統一的觀點、統一的語言來描述不同的事物.事物的本質是內在的，當我們用統一的語言把它敘述出來時，這種內在的本質就外顯化了，讓我們有一種“透過現象看本質”的快感，使我們體會到數學的“統一美”.

日本數學教育家米山國藏說過：“學生在初中、高中等接受的數學知識，因畢業進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，所以通常是出校門后不到一兩年，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等（若培養了這方面的素質的話），卻隨時隨地發生著作用，使他們終身受益.”課堂教學將數學知識學習與數學文化的有機結合，不僅使學生學習知識，形成技能，發展思維，還能感受數學思想，體悟理性精神，感受數學之美.讓學生覺得數學課有意思、有智慧，達到立德樹人之效.與數學文化相關的教學實踐和研究值得重視.

1.顧沛.數學文化［M］.北京：高等教育出版社，2008.

2.王華民，侯斌.從一堂概念課的不同導入談數學史融入教學［J］.數學通報，2014（8）.