橫看成嶺側成峰
——一道高考題的多視角解法

☉江蘇省灌云高級中學 潘益琪

橫看成嶺側成峰
——一道高考題的多視角解法

☉江蘇省灌云高級中學 潘益琪

2015年重慶高考文科第14題以無理函數最值為載體，融函數、等價化歸等基本思想于一體，注重綜合考查學生的觀察、分析、猜想、推理論證等基本數學能力，對學生的思維能力提出了較高的要求，是一道具有潛在價值的好題.本文擬對此試題從多個視角作些探析，供讀者參考.

利用不等式求最值是不等式運用的一個重要方面，在用不等式求函數的最值時，往往需要配合一定的變形技巧，才可以把問題轉化為求不等式的問題.解法1的核心是利用算數平均數不大于平方平均數；解法2的核心是利用幾何平均數不大于算數平均數；解法3的核心是利用幾何平均數不大于平方平均數.

利用三角換元也是解決最值問題的常用手段，這啟示我們在解題方法上不能墨守成規，應因地制宜選擇最佳解題方法，培養思維的敏捷性和靈活性.

圖1

視角三：幾何視角

靈活運用勾股定理的逆定理，構造直角三角形的三邊，運用正弦定理求相應的范圍.

根據式子結構特征“為數配形”，通過構造點到直線的距離的解析幾何方法，體現出形與數的內在聯系.

解法7：線性規劃法，由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=問題就轉化成約束件為目標函數為z= x+y，如圖2所示，可行域為線l0：x+y=0往上平移，直到與（相切時的P點就為最優解，容易求點的切線方程為

圖2

通過換元，構造圓，利用圓與直線有公共點解題，揭示了代數問題的本質，本解法需要方程思想、數形結合思想和化歸意識，化靜為動，動中求靜.

視角五：函數視角

通過代入消元轉化為一元函數，再運用求導找出相應最值.盡管此題的導數解法與上述幾種解法相比顯得不簡便，但作為“通法”，思路清晰，學生容易接受.

視角六：方程視角

此種方法采用消去其中一個元，同時引入一個元，然后用主元法，將其中一個視為主變量.

視角七：數列視角

本解法可謂構思巧妙、奇特，視角新穎，悅從心涌.

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，本題雖是一道填空小題，但題面精巧、背景清晰、內涵豐富，且入口較寬、解法靈活，耐人尋味.通過多角度的切入，多方位的探究，溝通了不等式、函數、方程、導數、三角、向量、數列、幾何等知識的內在聯系，使它們有機地、密切地配合起來，從而總結出解題規律，探求出解題方法.本題可以多方面地檢測學生的基礎知識、基本技能和基本數學思想的掌握情況，并能有效地考查學生思維的靈活性和敏捷性，是值得深究的一道好題.在平時教學中，經常與學生共享這類好題的思維探究和解法形成，對訓練學生數學思維的廣闊性、敏捷性、靈活性和深刻性是大有益處的.F