嘗試自主教學享受生成創新
——基于“簡單的線性規劃問題”教學

☉江蘇省宿遷青華中學 于天舉

嘗試自主教學享受生成創新
——基于“簡單的線性規劃問題”教學

☉江蘇省宿遷青華中學 于天舉

一、教材分析

本節課是繼上一節二元一次不等式（組）表示平面區域的后續內容，是“簡單的線性規劃問題”第1課時，內容主要包括線性規劃的意義、線性約束條件、目標函數、可行域、可行解、最優解等概念和一些簡單應用.簡單線性規劃在工程設計、經濟管理、科學研究等方面的應用非常廣泛.通過本節課的學習，使學生進一步了解數學在實際問題中的應用，以培養學生應用數學的意識和解決實際問題的能力.筆者制訂了本節課的教學目標，由實際問題引入來探討學生自主探究的主要思路.

二、學生學習情況分析

本節課學生在學習了不等式、直線方程的基礎上，又通過實例理解了平面區域的意義，并會畫出平面區域，還能初步用數學關系式表示簡單的二元線性規劃的限制條件，將實際問題轉化為數學問題.從數學知識上看，問題涉及多個已知數據、多個字母變量、多個不等關系，從數學方法上看，學生對圖解法的認識還很少，這都將成為學生學習的難點.

三、教學目標

1.知識與技能

了解線性規劃的意義，以及線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等概念；了解線性規劃的圖解法，并會利用圖解法求解線性目標函數的最大（小）值.

2.過程與方法

在實驗探究的過程中，讓學生體驗數學活動充滿著探索與創造，培養學生觀察、聯想、作圖和理解實際問題的能力，以及動手操作、勇于探索的精神.

3.情態與價值

滲透集合、數形結合、化歸的數學思想，培養學生“數形結合”的應用意識，激發學生的學習興趣.

四、教學重、難點

（1）重點：指導學生緊緊抓住化歸、數形結合的數學思想方法，找到目標函數與直線方程的關系.

（2）難點：用圖解法求最優解的探索過程；數形結合思想的理解.

五、教學流程

活動一：回顧知識，奠定基礎

師：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標系中表示什么圖形？

生1：表示在直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區域.

師：怎樣畫二元一次不等式（組）所表示的區域？

生2：可以轉化為y＞kx+b或y＜kx+b的形式，大于的區域就是在直線上方，小于的區域就是在直線下方，也可以用特殊點代入驗證.

師：很好！其中我們要注意檢查直線是虛線還是實線；一般的，如果C≠0，可取（0，0）；如果C＝0，可取（1，0）或（0，1）.

設計意圖：通過教師提出問題，學生思考、歸納、總結回答提問，學生可以和同桌交流，得出觀點.教師及時點評鼓勵，最好做出總結.由此可以讓學生溫習舊知識，進一步強化學生前面學習的內容；由于二元一次不等式（組）表示的區域是學習本節課的重要基礎，復習可為本節課打好基礎；而且此處復習也做到了自然過度與上節課內容有效連接.

活動二：創設情境，啟迪思維

引例某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時1h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2h.該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，每天工作時間按8h計算.

問題1：該廠所有可能的日生產安排是什么？

A配件B配件耗時（h）甲產品401乙產品042

（學生思考后給出解答）

生3：設甲、乙兩種產品分別生產x、y件，由已知條件可得二元一次不等式組：

圖1

設計意圖：學生沿著教師的引導，通過認真思考，探索交流，動手操作，參與到解決實際問題的課堂中來.一個貼近實際的問題情境使學生感到數學是自然的、有用的，學生更能夠容易理解，因而，更容易激起學生解決問題的欲望，調動起學生的積極性.因此這一環節的設計更注重學生的思維發展，更具有程序性，因而學生更容易操作.

問題2：若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排獲得利潤最大？

生2：（思考片刻）設工廠的利潤為z，則z=2x+3y.

問題3：我們可以想出怎樣的辦法，在該區域中找到使得z值最大的點？

設計意圖：本問題的設置目的是將實際問題中的最值轉換為直線斜率在特定區域內的最值.教師是整個過程的引導者、參與者，甚至成為學生的協作者.本環節學生體驗到從分析實際問題，再通過思維建立起數學模型，最終解決問題的過程，有效地培養了學生利用數學知識解決實際問題的意識.最后的思考抓住解決線性規劃問題的關鍵，學生把思維的焦點放在了本節的難點上，從而有效突破難點.

活動三：例題講解，提升思維

例1營養學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg的蛋白質，0.14kg的脂肪，花費28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質，0.07kg的脂肪，花費21元.為了滿足營養學家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B各多少？

（學生在引例解決的基礎上不難解決此題，此處限于篇幅略，去解題過程）

問題4：通過對以上兩個實際問題的解決，你認為利用線性規劃解決實際問題可以分為哪幾個步驟？它們都是什么？

規范線性規劃圖解法的步驟：

（1）列——設出未知數，列出約束條件，確定目標函數.

（2）畫——畫出線性約束條件所表示的可行域；畫目標函數所對應的直線.

（3）移——在可行域內移動目標函數所對應的直線到斜率最大（最小）.

（4）求——通過解方程組求出最優解.

（5）答——作出答案.

設計意圖：學生在引例的基礎上，已經對解決線性規劃問題有了一定的認識，此處引導學生總結、歸納解決問題的步驟，培養思維的嚴密性.

活動四：反饋訓練，拓展引申

變式2：求Z=3x+5y的最大值，以及取最大值時最優解的個數.

變式3：若Z=3x+ay取最大值的最優解有無數個，則a值如何？

變式4：當Z=3x+ay取最大值時，最優解僅有（5，2），則a的取值范圍又將如何呢？

（學生結合圖形獨立思考、交流合作、給出解答）

師：大家說的很好！把握住了此類題目的關鍵所在，理解非常到位，課后再進行整理.如果目標函數是非線性的函數時又怎么處理呢？

變式8：求Z=x2+y2的范圍.

變式9：求Z=（x-4）2+（y-1）2的范圍.

根據變式5到變式7的鋪墊，學生易想到通過考慮式子的幾何意義——距離的平方來解決問題.

設計意圖：通過對各類變式的分析，由學生總結方法，形成共識，進而上升為規律，對學生的解題能力是一個很大的提升.在這其中，精選題目是組織習題課教學的關鍵.本題所選題目正是那種可以無限擴展的題型，對學生的發散思維有很大幫助.

“解題千萬道，解后拋云霄”是難以提高能力和發展思維的，這是我們教數學的老師一直頭疼的一件事，其實根源就在于不能很好地引導學生進行解后反思與方法總結.

活動五：課堂小結，提升總結

教師引導學生回顧用圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟：（1）列；（2）畫；（3）移；（4）求；（5）答.同時回顧研究問題所用的數學方法、數學思想等，以便增加學生的數學理解力，提高學生的數學素養.

六、教學與反思

（1）概念生成的課堂是學生收集、檢索、甄別、整合信息的探索活動，提出問題，相互質疑，爭辯，使認識不斷深入，思維不斷精致，化神秘為自然，這樣以學生為認識主體的教學方式凸顯了“自主—創新”的精神實質.本課例中，用線性規劃思想解決實際問題均通過教師設置的問題串的引導，經過學生獨立思考、合作交流等方式取得.

（2）由于本節內容難度不大，本想直接給出例題，但是考慮到讓學生自然理解線性規劃在解題中的運用，故用了引例，進而學生易于理解例題的解答，并能自己總結出解題步驟，培養學生的概括能力，提升學生思維的嚴密性.

（3）例題后的變式是本節課的一個高潮部分，作為第一課時是否超越教材要求？這樣的現象是不是合理？這樣做，是否體現“用教材教”？教之道在于“度”，學之道在于“悟”.深入研讀教材，才能把握好教學的“度”.筆者認為，合理與否關鍵在于學生的接受程度，而并不是局限于教學目標和教材安排.本案例后面的變式部分，對于學生提煉總結方法、歸納題型、提高解題能力，同時對培養學生思維的廣闊性大有裨益.

沒有誰能剝奪學生自主建構的權利，即便想剝奪，也奪不去他們對知識的懷疑，即便強加，也不能讓其心悅誠服.真正能說服學生的，是他自己，只有將“已有的”與“欲求的”完美對接，才能和諧建構，促進知識的生長.知識，因結果呈現而彰顯邏輯，體現出結論性的靜態特征，而學生知識的形成與建構與數學的邏輯結構迥然不同，材料、背景、經驗、習慣都影響著認知，缺少對學生的理解，教育便失去針對性，教學便忽視個性化，光靠網絡視頻就足以完成的，何必還要教師？鑒于此，筆者認為，教學活動的過程，是策動、激發的過程，是參與、體驗的過程，是享受、賞識的過程.一句話，是培育積極情感的過程.A