教學設計：任意角
——“數形結合”思想引領下的概念教學

☉江蘇省南通中學 秦霞

教學設計：任意角
——“數形結合”思想引領下的概念教學

☉江蘇省南通中學 秦霞

一、課題來源

江蘇教育出版社普通高中課程標準實驗教科書·數學必修4第1章“三角函數”第一節“任意角和弧度制”第一課時——1.1.1任意角.

二、學情基礎

任意角是三角函數的第一節內容，是本章教學內容的基本概念，而任意角的概念及其應用不僅體現了數形結合的數學思想，又為下面的弧度制和三角函數的學習提供了知識基礎.

學習本節前，學生已經掌握了0°到360°之間的角，以及角的靜態概念，既為任意角的尋找做好了知識準備，又為后面弧度制、三角函數等內容的學習做了必要的準備；高一上學期學習指數、對數函數圖像時，已帶領學生學習了基本的作圖方法、幾何畫板等基礎知識，學生已經具備了初步的作圖能力，能夠制作簡單的動畫，開展數學實驗.

三、教學過程

1.創設情境，引入新題

（1）復習：初中階段我們是如何定義角的？

具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角（angle）.這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊，如圖1.（靜態定義）

圖1

圖2

一個角可以看做由平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形，如圖2.（動態定義）

頂點：射線的端點；

始邊：射線旋轉的開始位置；

終邊：射線旋轉的終止位置.

角的取值范圍：0°到360°，一般研究的是小于平角的角.

（2）情境：一只時鐘，快了15分鐘，怎樣撥動分針，可盡快校準？如果慢了1小時15分鐘呢？

（3）思考：時鐘如果快了15分鐘，分針要逆時針方向旋轉90°；如果時鐘慢了1小時15分鐘，分針要順時針方向旋轉450°，這里的450°已經不是初中所熟悉的角了.我們該怎么辦？

（4）問題：從哪個角度來解釋上述問題中所遇到的“角”才更科學、更合理呢？

學生討論：旋轉定義角更科學合理.從大小、方向兩方面推廣角的定義，從而將角從0°到360°范圍推廣到任意角.

設計意圖：從初中時角的定義復習入手，提出角的動態和靜態兩種定義，再用時鐘這個熟悉的模型，提出一個不熟悉的角450°，讓學生對角的認識從0°到360°拓展到任意角的范圍.

2.合理引導，建構理論

（1）角的概念.

（2）正角、負角、零角.按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角（positiveangle）；按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角（negativeangle）；如果射線沒有做任何旋轉，那么也把它看成一個角，叫做零角（zeroangle）.

（3）意義：用“旋轉”定義角之后，角的范圍擴大到“任意角”（anyangle）.

（4）規范：文字語言、圖形語言、符號語言的使用.

一般用小寫的希臘字母α、β、γ…來表示角；

用帶箭頭的螺旋線來表示角的旋轉量和旋轉方向，如圖3.

圖3

3.互動合作，探究拓展

請分別畫出下列各組角：

①30°，-330°，390°，750°；

②240°，-120°，600°，960°；

③180°，-180°，540°，900°.

圖4

圖5

圖6

（1）探究：觀察每一組角的圖形，如圖4～圖6，有何特征？（學生討論）

（2）分析：①將每組角的始邊和頂點重合，終邊也重合，發現同一個圖形表示不同的角.②提出將角置于直角坐標系中研究的必要性：將角置于直角坐標系中，即角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合，這樣在同一“參照系”下，可以使角的討論得到簡化，同時還能有效地表現角的終邊位置“周而復始”的現象.③將角置于直角坐標系中，發現任意角的終邊只能落在四個象限和兩條坐標軸上，從而定義象限角和軸線角.

（3）拓展：觀察第一組角，回答：

①銳角是第幾象限角？（第一象限角）第一象限角都是銳角嗎？（不是，如第①組角中的-330°，390°等）

②以30°為例，歸納與30°角終邊相同的角的集合，從而推廣到與任意角α終邊相同的角的集合.（從“數、形”兩個方面理解）

（4）結論：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系.

象限角：角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

軸線角：如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角.（軸線角不屬于任何象限）

注意：強調定義象限角、軸線角的前提，即“二重合”.

終邊相同的角的集合：

一般地，與角α終邊相同的角的集合為｛β|β=k·360°+ α，k∈Z｝.

注意：數形結合，理解定義.

從“數”的角度：終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍.

從“形”的角度：k＞0時，按逆時針方向旋轉k圈后角的終邊重合；k＜0時，按順時針方向旋轉k圈后角的終邊重合；k=0時，角α的終邊沒有轉動，如圖7.

圖7

設計意圖：介紹完任意角的概念后，請學生在直角坐標系中作出三組角，并且讓學生自主觀察每組角的特征.橫向觀察每組角，將角的終邊分類，發現象限角和軸線角；縱向觀察每組角，總結出終邊相同的角的集合.學生在這樣的互動探究中，從“數”“形”兩個方面加深了對任意角的認識.

4.梳理歸納，有效訓練

例1在0°到360°范圍內，找出與960°角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角.

設計意圖：（1）通過這道題，今后我們如何判斷任意一個角α是第幾象限角？借助本題讓學生體會研究終邊相同的角的意義，即把角從0°到360°范圍，拓展到任意角之后，現在借助于終邊相同的角，又可以把研究任意角的位置問題化歸為研究0°到360°范圍內的角.（2）通過變式題還可以讓學生體會到，每360°內只有一個與960°終邊相同的角.（3）解題過程中，學生可能呈現多種解法，充分讓學生體會數形結合、一題多解.

圖8

從“形”的角度驗證：當k為偶數時，k·180°表示角的終邊落在x軸正半軸，然后再逆時針旋轉120°，角的終邊落在第二象限；當k為奇數時，k·180°表示角的終邊落在x軸負半軸，然后再逆時針旋轉120°，角的終邊落在第四象限.

四、教學反思

1.一個中心：以學生對知識的內在需求為中心

本課復習了初中對角的定義以后，以學生熟悉的時鐘問題，創設課堂情境，發現450°已經不是初中角的定義所能解決的，使學生產生認知上的沖突，說明從“旋轉量”和“旋轉方向”兩個方面對角的概念的推廣的必要性，同時激發學生的學習興趣和主動探究的精神.

將角從0°到360°拓展到“任意角”之后，讓學生自己動手畫四組角，從而觀察這些角的圖形的特征，發現這些角的始邊和頂點重合后，終邊才能重合，從而產生了將角放到直角坐標系中的想法，這樣產生了象限角和軸線角.將角放到直角坐標系后發現，同一組圖形可以表示不同的角，自然想到研究這些角之間的數量關系，從特殊到一般，發現終邊相同的角的集合.讓學生自行嘗試，培養學生處理數學問題的動手能力，以及猜想、探究能力.

2.兩個基本點：“數”、“形”兩點緊抓不放

在拓展“任意角”角的概念時，從“大小”和“方向”兩方面引導學生思考，緊抓數形兩方面；在引入終邊相同的角的集合時，先從“形”入手，觀察這些角的圖形特征，再從“數”入手，歸納這些角的數量特征，由特殊到一般，從具體到抽象，培養學生的觀察、歸納能力，為后面學習周期的概念做鋪墊，并使學生理解終邊相同的角不是唯一的，而是一個角的集合.

例1的講解中，既可以從“形”入手，以旋轉的角度來尋找終邊相同的角，也可以從“數”入手，用“賦值法”，或者“解不等式法”來尋找在0°到360°范圍內的與之終邊相同的角，從而確定角的終邊所在位置.

3.三種思想，相互滲透

本課的主要思路是：將初中所學的0°到360°的角，從“旋轉量”和“旋轉方向”兩方面推廣到任意角，再通過對象限角、軸線角、終邊相同的角的研究，將研究任意角的位置問題轉化為研究0°到360°角的位置，體現了化歸的數學思想.

教學過程中又處處滲透著數形結合的思想，使學生的理解更加具體形象，也為后面學習周期性做好鋪墊.如總結終邊相同的角的集合、兩道例題的講解，都從數形兩方面入手，直觀形象，便于學生的理解.

例2中還滲透了分類討論思想，盡管這點是學生在學習上的難點，但是由于在直角坐標系中，角的終邊可以直觀形象的旋轉，這時數形結合思想的加入，又降低了教學難點，使得學生的思維障礙得以突破.F