關于萬有引力問題的兩個典型模型

張煒

[摘要]：首先，以萬有引力定律為載體提出了兩個典型的物理模型；其次，闡述了這兩個典型模型在高考中的應用并滲透了高考的命題思想。這對新課標形式下的物理教學有一定的意義。

[關鍵詞]：萬有引力 球體模型 行星模型

一、球體模型：忽略地球自轉

規律：萬有引力產生重力。

GMmR2=mg，∴M=gR2G

推廣到球外一點：GMm（R+h）2=mg′

∴g′=GM（R+h）2，h↑，g′↓

推論：GM=gR2（黃金代換式）

思路一：建立球體模型，萬有引力產生重力。

例1：（2013新課標）假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體.一礦井深度為d.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（A）

A.1-dR B.1+dR C.（R-dR）2 D.（RR-d）2

解：

在地表，有：GMmR2=mg，M=ρ43πR3g∝R

在礦井底部：GM′m（R-d）2=mg′，M′=ρ43π（R-d）3

∴g′g=R-dR=1-dR，答案為A。

體會：題目呈現模型，考查能力方法。知識模型顯在，思想方法曲引。比例法和球體模型的應用。

注：比例法的步驟：（1）寫通式；（2）找不變量；（3）算比例。

例2：假設地球是一半徑為R，質量分布均勻的球體。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體引力為零，地球表面處引力加速度為g。則關于地球引力加速度a隨地球球心到某點距離r的變化圖像正確的是（B）

解：當點在球內時，由上題知g∝r。當點在球外時，g∝1r2。因此答案為B。

體會：比例法和球體模型的應用。

二、行星模型：將地球和衛星看作質點

規律：萬有引力提供向心力。

GM中mr2=mr4π2T2，M中=4π2r3GT2

已知r，T可測M。

思路二：建立行星模型，萬有引力提供向心力。

推論一：gR2G=4π2r3GT2，∴r3=gR2T24π2（可測量行星的軌道半徑）

推論二：GMmr2=ma=mv2r=mrω2=mωv=m4π2T2r

已知r，T；v，T；ω，r；vω；v，T；r，v均可測質量M。

推論三：a=GMr，v=GMr，ω=GMr2，T=2πr3GM

r↑，a↓，v↓，ω↓，T↑；高軌低速周期長，r↓，a↑，v↑，ω↑，T↓.低軌高速周期短。

例3：（2008全國卷）地球同步衛星到地心的距離r可由r3=a2b2c4π2求出，已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2，則（AB）

A.a是地球半徑，b是地球自轉的周期，c是地球表面處的重力加速度

B.a是地球半徑，b是同步衛星繞地心運動的周期，c是同步衛星的加速度

C.a是赤道周長，b是地球自轉的周期，c是同步衛星的加速度

D.a是地球半徑，b是同步衛星繞地心運動的周期，c是地球表面處的重力加速度。提示：由推論一可得AB正確。

例4：已知引力常數為G，利用下列哪組數據，可以計算地球的質量（ABC）

A.已知地球半徑和地表的重力加速度g

B.已知衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和線速度v

C.已知衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和周期T

D.已知衛星的質量和衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r

提示：由推論二可得ABC正確。

例4：（2012廣東卷）.如圖6所示，飛船從軌道1變軌至軌道2。若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運動，不考慮質量變化，相對于在軌道1上，飛船在軌道2上的（CD）

A.動能大

B.向心加速度大

C.運行周期長 D.角速度小

提示：由推論三可得CD正確。

體會：模型給力快速攻破，二級結論直通高考。

三、兩個模型的綜合應用

例5：（2000全國卷）2000年1月26日我國發射了一顆同步衛星，其定點位置與東經98°的經線在同一平面內.如圖所示，現把甘肅省嘉峪關處的經度和緯度近似取為東經98°和北緯40°，已知地球半徑R、地球自轉周期T、地球表面重力加速度g（視為常量）和光速c.試求該同步衛星發出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間.（要求用題給的已知量表示）

解：將地球和衛星看作質點建模如圖：

在地面：GMmR2=mg，

對衛星：GMmr2=m4π2T2r

由幾何關系：L=r2+R2-2rRcosα，t=Lc

解得t=（R2gT24π2）23+R2-2R（R2gT24π2）13cosαc。

體會：計算題主要注重獨立靈活的分析解決新情景下的物理問題，著重考查對物理過程的分析，建立物理模型和應用數學解決物理問題的綜合能力。這里邊建立物理模型是非常重要的。因此，計算題包含著建模和數學同時還有過程的分析。

四、總結

高考命題的主要思想：問題呈現，模型流淌，因為基礎，便于壘高，由于經典，便于遷移，源于事實，富有活力，理想處理，實現本質。