關(guān)于數(shù)學(xué)“一題多解”教學(xué)的辯證思考

☉安徽省宿州市教育科學(xué)研究所 王鋒☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭良

關(guān)于數(shù)學(xué)“一題多解”教學(xué)的辯證思考

☉安徽省宿州市教育科學(xué)研究所 王鋒
☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭良

一、案例背景

2014年高考塵埃落定，2015年高考復(fù)習(xí)拉開序幕.一輪復(fù)習(xí)用書第一章首節(jié)“集合的概念與運算”，第一課時已經(jīng)學(xué)習(xí)了“集合的基本概念”與“集合間的基本關(guān)系”兩大考點，本節(jié)課將學(xué)習(xí)“集合的基本運算”.授課班級學(xué)生的基礎(chǔ)較好，授課教師有一定的教學(xué)經(jīng)驗.

二、案例呈現(xiàn)

師：剛才我們用列舉法、數(shù)形結(jié)合法、屬性分析法等方法解決了交集、并集、補集（教師還補充關(guān)于差集的新定義題）等集合的基本運算.交集、并集、補集不僅僅是知識、運算（法則），更是一種思想方法.

例題（2014年重慶卷文科第13題）已知直線x-y+ a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A、B兩點，且AC⊥BC，則實數(shù)a的值為_________.

師：點A，B可看成集合｛（x，y）|x-y+a=0｝與｛（x，y）|x2+ y2+2x-4y-4=0｝的交集的元素，題目條件有什么？結(jié)論需要什么？如何過渡？

生1：x-y+a=0表示平行直線系，x2+y2+2x-4y-4=0表示以C（-1，2）為圓心，以3為半徑（確定）的圓，通過條件AC⊥BC確定實數(shù)a的值.

師：很好！請同學(xué)們認真思考，從不同角度給出解答.（約3分鐘，教師展示學(xué)生的解答，并讓學(xué)生還原“思維現(xiàn)場”）

師：三種解法殊途同歸，解法1與解法2的想法更自然，思維層次稍低，解法3充分利用圓的對稱性，轉(zhuǎn)化更加徹底，思維更有深度，可見解答的繁簡與條件出現(xiàn)的面目息息相關(guān).請同學(xué)們思考，以上解法中是否需要對實數(shù)a的值進行檢驗，為什么？（過程略）

師：有沒有其他方法？（學(xué)生沉思，教師見學(xué)生沒什么反應(yīng)）前面已經(jīng)提到解決交集問題的兩種思路（先分別求出A，B，再求A∩B的“并列式”；在集合A的條件下驗證集合B，確定A∩B的“遞進式”），能否從不同視角切入呢？比如更換條件的出場順序，以上解法均先相交后垂直，可嘗試先垂直后相交，設(shè)出直線AC、BC的方程，請同學(xué)們思考、交流.

生4：（解法4）當直線AC、BC中一條直線（不妨設(shè)AC）的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，考慮直線AB的斜率為1，有兩種情況：①A（-1，-1），B（2，2），直線AB的方程為x-y=0，對照x-y+a=0，可知a=0；②A（-1，5），B（-4，2），直線AB的方程為x-y+6=0，對照x-y+a=0，可知a=6.

根據(jù)kAB=1，解得k=0，與題設(shè)矛盾.

總上所述，實數(shù)a的值為0或6.

師：本題的載體為直線和圓，還能怎樣刻畫直線垂直？（學(xué)生面面相覷，不明所以）以上用數(shù)來刻畫垂直，能否用形來表示垂直呢？圓的方程的形式有哪些？

生5：（解法5）由圓的參數(shù)方程可設(shè)A（-1+3cosθ，2+即B（-1-解得cosθ=0.

當sinθ=1時，此時A（-1，5），B（-4，2），直線AB的方程為x-y+6=0；

當sinθ=-1時，此時A（-1，-1），B（2，2），直線AB的方程為x-y=0.

總上所述，實數(shù)a的值為0或6.

教師：能否先利用直線AC、BC交直線AB后，利用點A、B在圓C上呢？請同學(xué)們課下思考交流.

至此，一題多解結(jié)束了，教師沒有過多地總結(jié)停留，直奔下一個問題的一題多解.

聽課老師在課下與授課教師進行交流，對其教學(xué)進行點評.認為教師的基本功比較扎實、教學(xué)準備充分，不足之處在于內(nèi)容過深，脫離了高考目標.筆者更關(guān)注其“一題多解”的教學(xué)方式，因為“一題多解”和“多題一解”是教師攻克（尤其是復(fù)習(xí)課）教學(xué)重難點常采用的一種教學(xué)模式.下面想結(jié)合以上案例談?wù)剬Α耙活}多解”的一些教學(xué)思考.

三、教學(xué)思考

“一題多解”就是從不同的角度，運用不同的思維方法去解決同一個問題.“一題多解”是數(shù)學(xué)教學(xué)中最為絢麗的風(fēng)景，是備受推崇并積極推進的教學(xué)模式.其教學(xué)價值何在？是否完美無缺？如何操作實施？很多教師可能沒有認真思考與辯證分析，多是盲目“跟風(fēng)”.

（一）“一題多解”的教學(xué)價值

1.“一題多解”能拓展知識寬度，強化知識關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

知識是思想方法的載體，是解題的必備基礎(chǔ).通過“一題多解”，擴充課堂容量，鞏固相關(guān)知識，加深知識認知，全方位、深層次、多角度對知識進行梳理，使之形成網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識體系.如解法4中，教師可追問“直線AC、BC的斜率均存在時不合題意，你能一下子看出來嗎？”來增強學(xué)生思維的深刻性，認識到特殊與一般的關(guān)系：直線AB的斜率為1，△CAB是以C為直角頂點的等腰直角三角形，則直線AC、BC的斜率只能為0與1（或1與0），即符合題設(shè)的圖形只有兩種.

2.“一題多解”能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，促進有效協(xié)作

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，缺少解題線路的制約，學(xué)生暢所欲言、各抒己見，視角新穎獨特，方法靈活巧妙，每個學(xué)生都能從中找到適合自己的方式方法等，能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進課堂互動，增強小組合作交流.

3.“一題多解”能辨別結(jié)果正誤，凸顯繁簡擇優(yōu)，實行多元評價

很多數(shù)學(xué)問題具有開放性致使結(jié)果容易出錯，如計數(shù)問題，可通過直接法、排除法等方法進行多解歸一提高結(jié)論的正確率.通過對解法的比較和反思，進而透過現(xiàn)象看本質(zhì)，感悟并逐步掌握各類問題的通性通法與優(yōu)秀解法.對學(xué)生的解法全方位、立體式地審視與分析，找出學(xué)生的優(yōu)勢和不足，給予多元評價.不同性質(zhì)的評價所產(chǎn)生的心理效應(yīng)大相徑庭.美國心理學(xué)家廉姆·卡耐基曾說：“人性最深切的需求，就是渴望別人的欣賞.”通過多元評價和針對性指導(dǎo)，促使學(xué)生揚長避短.

4.“一題多解”能延伸思維廣度，提高思維速度，提升思維深度

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是認識活動和智力領(lǐng)域的核心.通過“一題多解”，調(diào)動頭腦中沉睡的知識，改善學(xué)生固化的思維習(xí)慣，能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性、深刻性.

5.“一題多解”能升華思想方法，提高應(yīng)變能力，促進創(chuàng)新能力

每個問題的解決都有思想方法的潛流.通過一題多解，使問題中蘊含的思想方法顯性化，學(xué)生對其明晰起來，能夠根據(jù)具體問題情境，將不同的思想方法具體化為不同的解題思路，以具體的解題步驟展示出來.以思想方法統(tǒng)領(lǐng)，能對解題中的（思維、變形等）障礙進行突破，甚至給出創(chuàng)造性的解題方案.

（二）“一題多解”的教學(xué)誤區(qū)

“一題多解”中度的把握尤為關(guān)鍵，否則就會出現(xiàn)過猶不及.如知識的堆積導(dǎo)致學(xué)生張冠李戴，方法的泛濫導(dǎo)致學(xué)生無所適從，課堂的活躍異化為個人表演，常規(guī)的解法演變?yōu)樘厥饧记?，解答的到位脫離學(xué)生實際，解法的充斥壓縮探索交流空間，解題的失敗導(dǎo)致學(xué)生彷徨倦怠.

（三）“一題多解”的實施

1.“一題多解”要選擇典型問題

問題是知識和方法的載體，解題也絕不僅是得到問題答案.并不是所有的問題都適合開展“一題多解”教學(xué)，在上課前一定要深思熟慮，盡可能選擇體現(xiàn)核心知識、方法及其本質(zhì)內(nèi)容的問題.通過這些內(nèi)涵豐富，學(xué)生切入容易而做對（好）難的問題，利用“一題多解”復(fù)習(xí)鞏固知識，獲得解題方法技能，領(lǐng)悟內(nèi)容本質(zhì).案例載體為直線和圓的位置關(guān)系，學(xué)生入手容易，解法均體現(xiàn)了“幾何問題代數(shù)化”，這是解析幾何的基本思想方法.從教學(xué)目標看，本節(jié)課更關(guān)注例題的表現(xiàn)形式（外殼）及涉及的數(shù)學(xué)思想，本題作為“集合思想在解析幾何中的運用”還是可行的，放在“解析幾何初步”更為合適.

2.“一題多解”要體現(xiàn)知識的聯(lián)系性和系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)知識相互交錯，具有很強的系統(tǒng)性，如函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系.圓是特殊的圓錐曲線，具有超強的對稱性，弦長問題可用特性來解決，教師在教學(xué)中要引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注共性和特性.如何刻畫AC⊥ BC？從不同視角切入就能得到不同的解法.

3.“一題多解”要蘊含思想方法

數(shù)學(xué)思想方法，作為數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的精髓，是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)認識，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種指導(dǎo)思想和普遍適合的方法，是把數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)能力有機地聯(lián)系起來，提高個體思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力，是發(fā)展智力的關(guān)鍵所在，是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的基礎(chǔ)，更是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一.很多問題不是做不到，而是想不到，化歸與轉(zhuǎn)化是最重要的思想方法，解法3起到四兩撥千斤的效果.

4.“一題多解”要注重通性通法和解法的獲取

條條大道通羅馬.不管有多少種方法，解題時只需要一種合理高效的方法.教學(xué)不應(yīng)是解法的列舉和灌輸，而應(yīng)通過審題確定切入點和解題方案，展示解題方法的調(diào)整過程.教學(xué)時要注重對通性通法的滲透與講解，如解法1、解法2、解法3.要清楚解法的使用（數(shù)學(xué)）對象及學(xué)生理解的難度，畢竟巧妙的方法往往不具有普遍性；對于顯而易見的方法和“新奇”的技巧，可針對不同學(xué)生群體單獨輔導(dǎo)，如解法5.在對解法多角度對比與優(yōu)化中發(fā)展學(xué)生的元認知能力，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu).

5.“一題多解”要相機而動

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)什么，學(xué)多少，怎么學(xué)？取決于學(xué)情.我們要研透學(xué)生，不能“失位”或“越位”.不少經(jīng)典問題的多解可審時度勢分而治之，將它們分解到不同的學(xué)習(xí)階段，作為基本解法強化，到復(fù)習(xí)時再組成網(wǎng)絡(luò)，并快速融入學(xué)生的知識體系，實現(xiàn)從量變到質(zhì)變，因此應(yīng)在新授課階段訓(xùn)練單一的解法，在后繼學(xué)習(xí)階段逐步滲透技巧，在復(fù)習(xí)或試卷講評時以專題形式融入綜合性解法.作為一輪（集合運算）復(fù)習(xí)課，解法5的難度較大，脫離了學(xué)生的實際認知.“不憤不啟，不悱不發(fā)”（孔子《論語·述而》），在學(xué)生思維受阻或興奮時開展適合學(xué)生的“一題多解”，合理把握思維的發(fā)散（放）與聚合（收），優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

6.“一題多解”要深化探究和總結(jié)提升

教學(xué)表明：學(xué)生積極探求多種思路解決一道題遠比老師灌輸性地介紹一道題的多種解法更具積極意義.通過調(diào)動學(xué)生的思維，使學(xué)生之間相互啟發(fā)，帶來共同發(fā)展提高的“連鎖反應(yīng)”.如案例中“有沒有其他方法？”范圍過大、指向不明，屬于無效提問；“可嘗試先垂直后相交”等過于聚焦，抑制學(xué)生思維的發(fā)散，為粉飾的“高級”灌輸行為.解法往往是具體的、瑣碎的，如果嘗試反思：是否還有更為簡捷的方法，或者原本的方法中是否存在著某種迂回可以進一步簡化？各種解法之間的區(qū)別和聯(lián)系如何？通過總結(jié)提煉，找出差異，深化認識，提升能力.解法5中的θ具有任意性，直線AC、BC構(gòu)成以C為支點的運動的（半）十字架，將學(xué)生思維從感性推向邏輯.

“一題多解”的目的是循序漸進地尋求最簡捷有效的解題方法，不是教學(xué)的最終目標，也不能作為教學(xué)的普遍原則.課堂的主角是學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是教學(xué)的主要目標，因此對各種解法進行比較、反思，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，找到其本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)才是教與學(xué)的根本目的.

1.王千.如何認識一題多解的教育功能［J］.數(shù)學(xué)通報，2004（9）.

2.錢佩玲.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

3.陶晶.“收”“放”自如的數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（7）.