直線與圓錐曲線交匯問題的合理解答

☉江蘇省南京市高淳高級中學 顧忠華

直線與圓錐曲線交匯問題的合理解答

☉江蘇省南京市高淳高級中學 顧忠華

圓錐曲線問題歷來是全國各省市高考的主干考點.其中直線與圓錐曲線交匯問題是常考題型之一，此類問題能有效考查圓錐曲線的性質、重要公式的應用及解析幾何中的設而不求思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，符合考試大綱中“對數學能力的考查要以數學基礎知識、數學思想和方法為基礎”的要求.下面就此類問題的解答提幾點建議，供考生參考.

一、設而不求，通性通法

對于直線與圓錐曲線的綜合問題，處理問題的常用方法是：設出直線與曲線的交點的坐標，直線方程與曲線方程聯立，代入消元，化為只含一個變量的一元二次方程，利用判別式及根與系數的關系，得出兩坐標之和、之積與斜率的關系，進而運用整體表示弦長、焦點三角形的面積等.

（1）求E的方程；

（2）設過點A的動直線l與E相交于P、Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

（2）當l⊥x軸時不合題意，故可設l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

評注：該題是以橢圓為載體的解析幾何綜合題，將化歸與轉化思想、分類討論思想、計算能力等進行了有效的考查.本題中“坐標法”“代入消元法”“判別式法”“根與系數的關系”等思想方法的應用得以充分體現.求出面積表達式后，觀察結構，運用基本不等式求出最大值.求最值的過程，需要考生有較強的變形、配湊能力，因此要加強基本不等式靈活應用方面的訓練.

二、代點作差，整體替換

直線與圓錐曲線相交問題中常涉及求弦斜率、中點、垂直平分線、求軌跡等情況.題目中涉及的交點、中點等問題，若直接求點的坐標，計算量將會很大.“點差法”是通過設相交的兩點的坐標，帶入到方程再作差，求出斜率并利用點求出方程，巧妙地降低計算量，具體的題目中需根據給出條件，靈活地運用“點差法”.

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2，y1+y2=-2.

又9=c2=a2-b2，解得b2=9，a2=18，所以橢圓方程為

三、追根溯源，回歸定義

解析幾何以運算煩瑣著稱，在解題時充分挖掘題目中圖形的幾何性質，適時地巧用定義，探求最佳的解題方法，開發最佳思路，尋求解題規律，可起到化繁為簡、事半功倍的效果.

例3過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點作傾斜角為60°的直線與拋物線分別交于A、B兩點（A在x軸上方），則

解析：如圖1，過點A、B作準線的垂線AC、BD，過點B作AC的垂線BE.由拋物線的定義知AC=AF，BF=BD.又AE=AC-CE，CE=BD，所以AE=AF-BF.在△ABE中，因為∠AFx=60°，所以所以∠ABE=30°，所以

評注：用圓錐曲線定義求解的問題往往與焦點或準線有關，通過定義往往可以相互轉化.對于橢圓和雙曲線可以通過定義把到左焦點的距離和到右焦點的距離相互轉化，對于拋物線可以通過定義把到焦點的距離和到準線的距離相互轉化，于是就有了“看到左焦點，想想右焦點，看到準線想焦點，看到焦點想準線”之類的口訣.通過定義的應用，再利用數形結合思想，不僅能抓住問題的本質，還能避開復雜的運算，使問題巧妙獲解，有事半功倍之效.

四、借助平幾，化繁為簡

解析幾何綜合題以其推理和運算的復雜性讓許多考生望而卻步，成為學生數學高考成敗的關鍵.能不能有效地避開一些繁難的運算，一直是解決解析幾何問題時最為關注的焦點.眾所周知，解析幾何是用代數方法研究幾何問題的學科，其本質還是幾何問題，如果我們能注重挖掘圓錐曲線的幾何性質，還原其幾何面目，往往會產生巧妙的解法.

例4在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于

（1）求動點P的軌跡方程.

（2）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M、N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

解析：（1）x2+3y2=4（x≠±1）.（過程略）

（2）解法1：如圖2，設點P的坐標為（x0，y0），點M、N的坐標分別為（3，yM）、（3，yN），則直線AP的方程為（x+1），直線BP的方程為

圖2

故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為

解法2：如圖3，若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設點P的坐標為（x0， y0），則

圖3

故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為

評注：單純地依賴代數的方法解決解析幾何問題，不光導致運算十分復雜，也有可能導致思路無法展開.所以在解決解析幾何問題時，要關注試題中的幾何特征，緊密聯系平面幾何知識，往往能夠走出困境，打開“柳暗花明又一村”的新局面.