以“阿波羅尼斯圓”為背景的考題探究

☉浙江省諸暨市草塔中學 張森國

以“阿波羅尼斯圓”為背景的考題探究

☉浙江省諸暨市草塔中學 張森國

一、問題引入

（人教A版必修2第131頁練習B第3題）已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（3，0）的距離的比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線.

一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)λ（λ≠1）的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”.

如圖1，在平面直角坐標系內(nèi)，不妨設(shè)|AB|=2a＞0，到A（-a，0）、B（a，0）的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0，λ≠1）的點的集合是圓，其方程為在直線AB上，半徑為其中AD=△ABC的面積有最大值，且最大值為

圖1

二、高考鏈接

以阿波羅尼斯圓為背景的高考試題屢見不鮮，如下所示.

圖2

解析：建立如圖2所示的坐標系，設(shè)C（x，y）、A（-1，0）、B（1，0）.由化簡得（x-3）2+y2=8（x≠0），即C點的軌跡是以（3，0）為圓心，以為半徑的圓，所以三角形ABC的高最大為圓的半徑，故三角形ABC的面積的最大值為

例2（2013年江蘇）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y= 2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使|MA|= 2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

圖3

顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0.所以（4k+3）=0，解得k=0或k

（2）因為圓C的圓心在直線l：y=2x-4上，可設(shè)圓心C的坐標為（a，2a-4），則圓C的方程為（x-a）2+［y-（2a-4）］2=1.

由5a2-12a+8≥0，得x∈R；由5a2-12a≤0，得

變式1：已知△ABC的三個頂點A（-1）、B（1，0）、C（3，2），其外接圓為⊙H.

（1）略；

（2）對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M、N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍.

分析：設(shè)出圓C的方程和點P的坐標，利用“點M是線段PN的中點”及恰當處置圓C上“存在不同的兩點M、N”成為解決的關(guān)鍵.

三、阿波羅尼斯圓的性質(zhì)

如圖4，以A、B為基點的阿波羅尼斯圓中，設(shè)圓與直線AB交于D、E，連接CD、CE，由上述阿波羅尼斯圓的定義知由三角形的角平分線定理可知CD是∠ACB的平分線；CE是∠ACB的外角平分線，且

圖4

變式2：如圖5，圓O1、O2的半徑都是1，|O1O2|=4，過動點P分別作圓O1、O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得試建立適當?shù)淖鴺讼担髣狱cP的軌跡方程.

圖5

四、逆向探究

例3在x軸的正半軸上是否存在兩個定點A、B，使得圓x2+y2=4上任意一點到A、B兩點的距離之比為常數(shù)如果存在，求出點A、B的坐標；如果不存在，請說明理由.

解析：假設(shè)在x軸的正半軸上存在兩個定點A、B，使得圓x2+y2=4上任意一點P到A、B兩點的距離之比為常數(shù)設(shè)P（x，y）、A（x1，0）、B（x2，0），其中x2＞x1＞0.

所以在x軸的正半軸上存在兩個定點A（1，0）、B（4，0），使得圓x2+y2=4上任意一點到A、B兩點的距離之比為常數(shù)