利用導數法處理不等式問題的思維起點

☉江蘇省丹陽市第五中學 吳延俊

利用導數法處理不等式問題的思維起點

☉江蘇省丹陽市第五中學 吳延俊

在近年各省市高考試題中，常見到這樣一類問題：對區間內任意（在區間內存在）自變量，使得不等式成立，求參數取值范圍或證明不等式問題.由于這類問題本身的抽象性及隱蔽性，同學們在解決這類問題時，常常束手無策.本文對此類問題舉例分析，說明其求解策略.

一、單變量問題的合并處理

思維起點：對任意的x∈［a，b］，都有f（x）≥g（x）成立，是不同函數對同一變量下的恒成立問題，通常設h（x）=f（x）-g（x），則可轉化為求h（x）min≥0.若函數f（x）、g（x）在區間［a，b］上恒為正值，也可以設h使 h（x）min≥1.

例1設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數.

（1）略；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

解析：（1）略.

當a≤1時，φ′（x）≥0（僅當x=0，a=1時等號成立），所以φ（x）在［0，+∞）上單調遞增.又φ（0）=0，所以φ（x）≥0在［0，+∞）上恒成立，故恒成立（僅當x=0時等號成立）.

當a＞1時，對x∈（0，a-1］有φ′（x）≤0，所以φ（x）在（0，a-1］上單調遞減，則φ（a-1）＜φ（0）=0，即a＞1時，存在x＞0，使φ（x）＜0，故ln（1+x）≥不恒成立.

故a的取值范圍是（-∞，1］.

評析：若將問題改為存在x∈［a，b］，使得f（x）≥g（x）成立，是不同函數對同一變量下的恒成立問題，通過構造函數h（x）=f（x）-g（x），進而將問題可轉化為求h（x）min≥0，問題得解.

二、雙變量問題的分別處理

思維起點：某些不等式問題涉及x1、x2兩個無關的變量，使得f（x1）和g（x2）的取值互不影響，應對兩函數的最值進行分別求解.

（1）略；

（2）如果對于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）先考察函數g（x）=-x2+2x-3（x∈R）的圖像（圖略），配方得g（x）=-（x-1）2-2，所以函數g（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，且g（x）max= g（1）=-2.

因為對于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1.

下面考察函數h（x）=xlnx（x＞0）的圖像.h′（x）=lnx+1.令h′（x）=lnx+1=0，解得單調遞減，在.因為對于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以

評析：若將題目改為：存在x1∈［a，b］，x2∈［c，d］，使

f（x1）＞g（x2）成立，則問題轉化為使f（x）max＞g（x）min.

三、參變量問題的分離處理

思維起點：對于含參數a的不等式，將參數a與主元x分離開來，問題變形為“不等式f（x）＞a（＜a）恒成立”，進而將問題演變為求函數f（x）的最值，而此時函數f（x）中不再含有參數，求最值比較簡便.

（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

解析：（1）略.

四、等價轉化，構造輔助函數

思維起點：利用導數法證明不等式的關鍵是進行適當的變形，變式的依據是將不等式兩端化為相同結構的式子，如：證明（an+bn）m＞（am+bm）n，將不等式兩端取對數得ln（an+bn）m＞ln（am+bm）n，即mln（an+bn）＞nln（am+bm）?將問題轉化為函數f（x）=的單調性問題；或者將不等式構造為已知條件中所給出的函數類型，再利用其單調性證明.

（1）若函數f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，求a的取值范圍；

因為f（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立.

當x∈（0，+∞）時，由x2+（2-2a）x+1≥0，得2a-2≤

評析：如何構造輔助函數是解決本題的難點所在.不難發現，對于本題，構造輔助函數的關鍵在于將不等式轉化為與已知函數結構相同的式子（本例經過轉化后

五、合理區分存在與任意

思維起點：對任意的x1∈［a，b］，總存在x2∈［c，d］，使（fx1）＜g（x2）成立，是指x1取區間［a，b］上的任意一個值，總存在x2∈［c，d］，使得g（x2）＞（fx1），即（fx）max＜g（x）max.

解析： 由于?x1∈（0，2］，?x2∈（0，2］，（fx1）＜g（x2）?（fx）max＜g（x）max.顯然g（x）max=0，從而只需（fx）max＜0即可.

綜上所述，實數a的取值范圍為（ln2-1，+∞）.

評析：若將條件改為對任意的x1∈［a，b］，總存在x2∈［c，d］，使f（x1）＞g（x2）成立，就是說x1取區間［a，b］上的任意一個值，總存在x2∈［c，d］，使得g（x2）＜f（x1），即f（x）min＞g（x）min.