再談沖刺階段如何提高數學復習的效率

☉福建省寧德市民族中學 鄭一平

再談沖刺階段如何提高數學復習的效率

☉福建省寧德市民族中學 鄭一平

編者按：2003年4月鄭一平老師曾在中國青年報上發表了《沖刺階段如何提高數學復習效率》一文（談自己在高三畢業班沖刺階段的做法），在當時引起了較大反響，十多年來該文也被多位教師參考借鑒.多年來在畢業班沖刺階段復習中，鄭老師一直對此問題進行研究，效果比較好，因此在高考復習即將進入沖刺階段時，鄭老師在原文的基礎上對近年做法進行補充、修改，寫成此文，想必對指導高考沖刺階段的復習一定會有很大幫助.

高考前一個月常被叫做高考復習的沖刺階段，這一階段無論是教師還是學生都感到壓力很大，感覺時間緊、任務重，需要復習的知識越來越多，知識的缺陷也絡繹不絕，正常的時間似乎也不夠用，這是很正常的心理.但也經常聽到一些教師和學生講到，進入這一階段似乎進入高原期，復習總是難以收到較好的效果.筆者長期教學畢業班，深感沖刺階段復習的重要性，如何讓這一階段復習能夠取得更好的效益確實很值得研究.經過多年研究，筆者認為在高考復習的沖刺階段必須重視“五抓五突出”，即一抓平時復習的薄弱點，突出重中之重；二抓學生思維的易錯點，突出典型問題分析；三抓規范訓練的落腳點，突出提高解題準確與速度；四抓《考試說明》與信息研究，突出課本基礎知識、典型問題的再挖掘；五抓知識的整理與內化，突出問題解決的思維方法.

一、抓平時復習中的薄弱點，突出重中之重

經過第一輪全面系統的復習，同學們對高中的基礎知識、基本技能、基本思想和方法都能較全面系統的掌握，但在復習過程中每位學生對每一知識的掌握程度不一樣，存在的問題也不同，此時必須在進入沖刺階段復習時，根據學生實際查一查知識的薄弱點，如果是個別問題，則及時面對面地輔導幫助解決，如果是普通性問題，則對癥下藥及時補缺補漏，進而通過有針對性的強化訓練和講評，弄清問題實質，以便打好扎實的基礎.

根據《考試說明》與近幾年高考試題相比較可以發現，高考命題內容都能以《考試說明》為依據，且重點也大相徑庭，特別是突出數學知識的主干，以重點知識建構知識的主體，在代數部分重點考查函數、數列、不等式、三角函數、概率、導數等內容；在立體幾何部分著重考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系；在解析幾何部分著重考查直線和圓錐曲線，特別是它們的位置關系.因此很有必要對上述重中之重的內容進行必要的強化與提高，特別是通過一些有針對性的專題復習，提高學生解決綜合性問題的能力，提高學生思維的靈活性，為學生取得優異成績鋪平道路.

比如，學生在平時解題中常見的薄弱點之一就是解決問題時思維往往比較單一，不能打破知識間的關系，靈活應用知識去分析解決問題，針對學生的這一缺陷，在沖刺階段解幾復習中筆者選擇了下面例題.

例1如圖1，拋物線E：y2=4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，|OC|為半徑作圓，設圓C與準線l交于不同的兩點M，N.

（1）若點C的縱坐標為2，求|MN|；

（2）若|AF|2=|AM|·|AN|，求圓C的半徑.

分析：本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.問題（1）比較簡單，容易解決，問題（2）根據條件圓心C在拋物線上且過原點，就容易按常規思路得到如下的解法.

解：（1）拋物線y2=4x的準線l的方程為x=-1，由點C的縱坐標為2，得點C的坐標為（1，2），所以點C到準線l的距離d=2.

圖1

這種解法關鍵抓住了圓心在拋物線上、圓過原點這些幾何特征，結合垂徑定理和根與系數的關系獲得問題解的決.問題（2）的解決是常規解法，也是學生常用的解法，因為涉及直線與圓錐曲線位置關系自然想到通過聯立方程組消去一個未知數結合根與系數的關系解決是常用方法，但此時要注意判別式的使用.實際上圓錐曲線的許多問題若能充分挖掘幾何特征，利用幾何性質解決可以化難為易、化繁為簡，收到事半功倍的效果.

二、抓思維易錯點，突出典型問題分析

在復習過程中，盡管對基礎知識進行較為全面系統的復習，但由于學生知識水平、能力的不同，許多概念、性質、定理、公式在解題應用時學生常忽略解題的基本原則，如解對數問題先考慮定義域再變形轉化的原則；解指數不等式先固定底，再取對數的原則；解排列組合混合應用題先組合再排列的原則；化復數為三角形式先固定模式后再由誘導公式化成三角形式等.忽略問題的隱含條件的挖掘而失誤，如正、余弦函數的有界性；基本不等式求最值等號成立的條件；等比數列求和公式中對公比q的要求；一元二次方程有解的條件；軌跡中的范圍等都是學生解題中易出現問題的所在之處，因此必須通過一些典型問題分析，讓學生查找失誤原因，以便對癥下藥，進行有針對性的強化訓練，從而減少失誤率.

在數學問題中，常出現“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”等形式的命題，這些問題學生在解題時往往不能正確區分每一種情況之間的區別而造成解題失誤.為解決這一問題，沖刺階段復習時特舉下面一例：

學生在分析條件后易得到對任意的s，t∈［1，2］，都有f（s）≥g（t），等價于在區間［1，2］上，函數f（x）的最小值不小于g（x）的最大值.

由條件先求在區間［1，2］上，g（x）的最大值為g（2）= 1.只要1成立，等價于a≥x-x2lnx恒成立.

記h（x）=x-x2lnx，則h′（x）=1-2xlnx-x=（1-x）-2xlnx≤0在［1，2］上恒成立.

所以函數h（x）=x-x2lnx在區間［1，2］上單調遞減，所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1.

在此基礎上對其中條件“如果對任意的s，t∈［1，2］，都有f（s）≥g（t）成立”進行多方變式，s，t中一個為“任意”另一個變“存在”或兩個都變“存在”，讓學生思考解決，通過這些變式問題的解決就可以消除學生在“任意”與“存在”問題上似是而非的思維錯誤.

三、抓規范訓練的落腳點，突出提高解題的準確與速度

計算能力是高考考查的重要能力之一，也是學生的薄弱環節之一，規范訓練的落腳點要放在加強計算能力的培養上，在沖刺階段應突出學生的練，通過讓學生動手、動腦、做題，親身體會解題對思維能力的益處，在解題中提高運算能力.特別要培養學生思維的全面性，防止學生在思考問題時顧此失彼，要培養學生應用知識正確運算和變形，尋求設計合理、簡捷的運算途徑，會根據要求對數字進行估算和近似計算.對于每次練習，要求學生解題做到“四要”：一要熟練、準確，它是解題的基本要求；二要簡捷、迅速、全面，這是解題的進一步要求，體現思維的敏捷性和深刻性；三要注重思維過程、思維方法的科學性，在處理數量關系時，能根據題目條件尋求合理、簡捷的運算途徑，還要養成較強的心算和筆算速度，真正做到準確與速度、簡捷與熟練的有機結合；四要規范，這是高考取得高分的保證，要防止由于解題格式、過程的不規范而失分，達到會做的題不出錯.

圖2

學生遇到這一問題往往不加思考地通過計算來解決，常見解法如下.

由條件假設△PMN為正三角形，下面分點P在x軸上方和下方兩種情況：

①若點P在x軸上方，當△PMN為正三角形時，由平面幾何知識可得，∠PAB=30°，∠PBx=150°，所以直線AP的方程為（x+a），直線BP的方程為y-0=

所以a2=3b2，即此時點P的坐標為（0，-b）.

②同理可證點P在x軸下方時也存在△PMN為正三角形.

但許多學生考慮解答時往往忽略了討論上方與下方的兩種情形造成失分，此時強調思維的嚴密性就容易引起學生的重視.

本題實際還可考慮引導學生從幾何角度分析得到異于上面的簡潔解法.

考慮到等腰三角形兩底角相等，假設△PMN為正三角形，則∠MPN=∠PMN=60°.

又MN⊥x軸，所以∠PAN=30°，∠PBA=30°，所以△PAB為等腰三角形.

所以點P位于y軸上，且點P在橢圓上，所以點P的坐標為（0，b）或（0，-b）.

高考中的選擇題、填空題在數學學科中的比例較大，分值較高，在高考中占有舉足輕重的地位，其準確度和速度都直接影響高考成績，因此在沖刺階段很有必要加強一般性與特殊性、常規解法與特殊解法、分類討論與避免分類、有設必求與設而不求等數學方法的應用，強化對解答選擇題、填空題方法的指導，從而提高解答選擇題、填空題的得分率.因此解答選擇題、填空題審題是關鍵，審題這一關解決了，就可以保證解答既合理又準確，又可以為解決解答題提供足夠的思考時間，為取得優異成績創造條件.

四、抓《考試說明》與信息研究，突出課本基礎知識、典型問題的再挖掘

《考試說明》是高考復習的指導性文件，復習效果的好差，很重要因素是對《考試說明》的研究是否透徹.近年各地高考試題基本上都貫徹“總體保持穩定，深化能力立意、積極改革創新”的指導思想，兼顧教學基礎、方法、思維、應用、潛能方面的考查，形成平穩發展的穩定格局.認真鉆研《考試說明》，吃透精神實質，抓住考試內容和能力要求，關注高中數學課程改革進程，吸取新課程中的新思想、新理念，使復習把握數學教育改革的發展方向，就能做到既有針對性又避免做無用功，既減輕學生負擔，又提高復習效益.同時應及時了解考試中心，以及中學教學期刊、高考數學培訓會議等有關最新動態，并結合教學實踐加以研究，從而轉化為課堂教學的具體內容，使最后階段的復習有的放矢、事半功倍.

與此同時，要緊扣課本，要突出課本基礎知識的作用，突出課本例題中數學思想方法的挖掘和應用，重視課本習題中潛在功能的挖掘與利用.課本知識是經過幾代人集體智慧的智晶，具有很強的權威性、指導性，第一輪復習許多學生往往拋開課本，因而如何回歸課本，依“綱”、固“本”，挖掘課本問題的潛在功能，從不同角度借鑒考題的偏擬手法，對課本典型問題進行引伸、推廣、結合、發揮其應有作用.

例4（2001年全國高考題）如圖3，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，

圖3

（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的體積；

（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

分析：這是一道底面為直角梯形，一側棱垂直底面的四棱錐問題，主要考查線面關系和棱錐體積的計算，以及空間想象能力和邏輯推理能力.只要抓住底面為直角梯形和一側棱垂直底面這兩個已知條件，問題就很容易解決了.

圖4

（Ⅱ）如圖4，延長BA、CD相交于點E，連接SE，則SE是所求二面角的棱.

因為AD∥BC，BC=2AD，

所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB.

因為SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線.

又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.

評析：本題的解決方法多樣，也可考慮利用建立空間坐標系解決.但筆者認為研究本題的解法并不重要，重要的是讓學生從本題問題中歸納得到“底面為直角梯形且一側棱垂直底面的四棱錐”的空間模型，而這類問題解題的關鍵是抓住底面為直角梯形和一側棱垂直底面這兩個已知條件.分析這種模型結合幾近年全國各地高考立幾試題，我們會發現以“底面為直角梯形且一側棱垂直底面的四棱錐”為空間模型的試題已成為高考的重熱點問題.而以本題為原型進行適當變式就得到下列一組高考試題.

例5（2011年福建卷理）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，在四邊形ABCD中，

圖5

（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PAD.

（Ⅱ）設AB=AP.

①若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；

②在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等？說明理由.

例6（2011年北京卷理）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.

圖6

圖7

（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數表示）.

通過以這種通過教材中一個典型問題的研究就得到一類問題的解決的做法就充分挖掘出教材習題的應有作用，收到舉一反三的目的.

五、抓知識的整理與內化、突出解決綜合性問題的解題思維方法

在平時學習過程中，知識往往是以條塊的形式出現，綜合性、條理性不夠且比較零亂，經過一輪復習知識相對比較全面，特別對許多問題的理解更具有系統性和全面性，溝通了知識間的聯系.但由于復習往往更多是在教師的引導下進行的，而且知識間互相聯系、溝通相對較少，學生缺乏自主的深層次自我歸納與提煉，進入沖刺階段必須抓住對所學知識進行更全面、系統的歸類與內化，真正理解知識內涵，知識間的來龍去脈，形成處理問題的自我認知的意識與調控.通過整體構建知識網絡，使知識生成為自我解決問題的思維框架，形成獨特的解題思維意識和品質，為解決實際問題提供幫助.并在此基礎上讓學生通過相同的題設，提不同的問題，解相同的題目，找不同的思路，變同一個問題，得不同的結論，讓思維展示多種想象空間，從中獲取熟練的應用知識分析解決問題的能力，真正達到提高解決綜合性問題的能力.

比如，三角求值問題是三角知識考查的重點問題，但學生往往這方面掌握的不好，在沖刺階段復習中筆者選擇了以下典型實例與學生一起分析解決，并對解題方法進行總結，學生通過此例就能掌握此類問題的解法.

評析：涉及條件求值問題常從結論與條件之間角的關系思考分析，或從條件向所求值的代數式轉化，或對所求值的代數式向條件轉化，通過變式、湊角，合理利用三角公式變形處理達到目的.

總之，高三沖刺階段復習對于提高復習效率起著決定性作用，要根據教學實際、學生實際、認真研究、采取對策，以保證每一節課都能有高效益.

1.鄭一平.沖刺階段如何提高數學復習效率［N］.中國青年報，2003-04-01.