談談數(shù)學教學中的“回味”

☉湖北省武漢市第一中學 薛松

談談數(shù)學教學中的“回味”

☉湖北省武漢市第一中學 薛松

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“高中數(shù)學課程的教學目標應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學學習的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程.”而我們平時的數(shù)學教學習慣于對學生作一次性的“講深講透”，卻很少想到這樣的講法常常不能促使學生作更多的思考.如果我們在提出問題后，給學生足夠時間與空間，讓他們不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、運算求解、演繹證明、反思建構、適當推進擴大（以不超綱為限），最后我們再留一些沒有完全解決或值得進一步探索的問題給學生，引導學生全面思考問題，解決問題，并讓學生在聽課或者作業(yè)、考試以后對有關知識或問題再進行細嚼、聯(lián)想，猶如對于一首好詩、一盞香茗，通過不斷品嘗加深理解、獲取新知、感受深意，這就是所謂的“回味”.

下面僅從兩個方面在“不等式證明”中各舉一例談談“回味”的產(chǎn)生.

一、課堂教學中適當拓寬，促使“回味”產(chǎn)生

問題1：試比較log34與log45的大小.

就此止步，則坐失良機，實在可惜.若引導學生對上面的解法進行分析、研究和聯(lián)系，效果會完全不同.

分析聯(lián)想1：log23＞log34，log45＞log56，…，一般地，對任意大于1的自然數(shù)n，必有l(wèi)ogn（n+1）＞logn+1（n+2）①.

分析聯(lián)想2：因為3、4、5是連續(xù)自然數(shù)，故三個數(shù)為等差數(shù)列，此時數(shù)列具有首末兩項之積小于中項的平方，可聯(lián)想到三個自然數(shù)成等差數(shù)列，但不連續(xù)時，是否仍有這個性質呢？進一步，產(chǎn)生聯(lián)想：

當n、m∈N*，且n＞1時，必有l(wèi)ogn（n+m）＞logn+m（n+2m）②.

證明：略.

分析聯(lián)想3：從②的證明可知將n換為大于1的實數(shù)a，將m換成正數(shù)b，證明仍成立，故從橫的方面聯(lián)想到：當a＞1、b＞0時，必有l(wèi)oga（a+b）＞loga+b（a+2b）③.

分析聯(lián)想4：現(xiàn)在放棄③式中兩個明顯特點，一個是左邊對數(shù)的真數(shù)與右邊對數(shù)的底數(shù)相等，另一個是兩邊對數(shù)的真數(shù)與底數(shù)之差相等，來看它更一般的特點：

（1）兩個對數(shù)的真數(shù)和底數(shù)都大于1；

（2）各個對數(shù)的真數(shù)都大于各自的底數(shù)；

（3）底數(shù)較小的對數(shù)的真數(shù)與底數(shù)之比大于底數(shù)較大的對數(shù)的真數(shù)與底數(shù)之比，即

推論：若b＞a＞1，c＞0，則logab＞loga+c（b+c）④.

顯然③式是④式當b=a+c的特例，到此，學生的思維已進入了一個新的境界，無論是學生注意力的集中程度還是思維的深度都令人振奮.

二、考試中事先計劃，預伏回味

問題2：判斷20142015與20152014的大小.

為了避免部分同學在考試中無從下手，考試時將原題改編為：

觀察，試驗：12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，…，請猜想出20142015與20152014有怎樣的大小關系，并推廣到一般形式，最后證明猜想.

考試后第一步進行試卷分析，啟發(fā)學生猜想：

當n＜3時，nn+1＜（n+1）n（n∈N*）；當n≥3時，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）⑤.

第二步，教師引導學生分別用數(shù)學歸納法、二項式定理及構造函數(shù)（函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減）進行證明，并總結出構造函數(shù)是解決此類問題的通性通法.

第三步，教師可適時提出能否將此結論推廣到n為實數(shù)的情況，通過進一步探究，作出新的猜想.

當0＜x＜y＜e時，xy＜yx；當e＜x＜y時，xy＞yx⑥.

第四步，利用上述結論，可指導學生解決2014年高考湖北省理科壓軸題第二問：求e3、eπ、3e、3π、πe、π3的最大數(shù)、最小數(shù).

解：因為e＜3＜π，所以eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.

根據(jù)函數(shù)y=lnx、y=ex、y=πx在定義域上單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π.

故這6個數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中.

由e＜3＜π及⑥的結論，得3π＞π3；3e＜e3.

綜上所述，6個數(shù)中的最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.

第五步，可引導學生到達高考的另一制高點，求解2014年江蘇省高考第19題第三問：當a＞1時，試比較ea-1與ae-1的大小（與原題略有變化）.

經(jīng)過學生類比、推理、計算、證明，得出解法.

提示：轉化為比較（a-1）lne與（e-1）lna的大小，即的大小.構造函數(shù)

最后，可布置2014年武漢市高三九月起點考試（理科）壓軸題，供學生練習.

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖像在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3.

（Ⅰ）求實數(shù)a的值；

（Ⅱ）若f（x）≤kx2對任意x＞0成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（Ⅲ）當n＞m＞1（m、n∈N*）時，證明：

通過這樣的試卷評講，學生就不會局限于完成一道孤獨零碎的考題，而是解決了一類問題，找到了規(guī)律，體驗了數(shù)學思維過程，掌握了數(shù)學知識技能，學習了思想方法，并實現(xiàn)思維方法的學習向數(shù)學素養(yǎng)的形成過渡，有了一點學會一種把特殊情況推廣到一般情況的新方法的成就感.回過頭再看原題，就會有一種居高臨下的感覺，產(chǎn)生了“回味”，它不但可以使學生學到課本上的東西，更可貴的是能發(fā)現(xiàn)新問題，并從中產(chǎn)生探索新知識的樂趣，這樂趣反過來又促進了一個人創(chuàng)造能力的增長.邁出這一步十分重要，它將有助于將知識型人才向創(chuàng)新型人才的轉化.

1.沈新權，顧乙.高中數(shù)學教學中滲透數(shù)學推廣意識的策略［J］.中學數(shù)學（上），2014（6）.

2.朱哲.數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的學與教［J］.中學數(shù)學月刊，2014（4）.

3.林少安.在例題教學中彰顯數(shù)學教學價值［J］.中學數(shù)學研究，2014（8）.