打磨核心細節創設高效微課
——微課“數形結合法在直線與圓位置關系中的運用”的磨課實踐與感悟

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍☉江蘇省南通市小海中學 夏志輝

打磨核心細節創設高效微課
——微課“數形結合法在直線與圓位置關系中的運用”的磨課實踐與感悟

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍
☉江蘇省南通市小海中學 夏志輝

“微課”是指以視頻為主要載體，記錄教師在課堂內外教育教學過程中圍繞某個知識點（重點、難點、疑點）或教學環節而開展的精彩教與學活動全過程.江蘇省教育廳為了創新教師培訓形式、提升教師信息技術應用能力、促進教師專業發展，同時也是為教師教學風采展示搭建平臺，豐富教師培訓的課程資源，于2014年2月至9月開展全省中小學教師微課競賽活動.為參加這次比賽，筆者精心設計了高三專題復習微課：“數形結合法在直線與圓位置關系中的運用”，下面就磨課中的幾個細節談談個人的一些體會與感悟.

一、理清核心主線，促進主動構建

李善良博士指出：數學課堂教學要“理清核心主線，優化教學過程”.一堂高效數學課，應該有一條清晰的認知線索，易于學生傾聽、學習、理解.學生順著這條主線，能主動構建數學知識，理解并掌握數學方法，達成課堂所預設的教學目標.

微課是課堂教學精華部分的濃縮，時間短而內容精.因此，相對于傳統課堂，微課對問題的集中、主題的突出的要求更加嚴格，可以針對課堂中某學科的重點、難點或疑點等教學內容，或某個教學環節、教學主題的教與學活動.在本微課的選題階段，筆者確定高考的熱點、重點——直線與圓的位置關系為主題，但是由于其解決方法繁多、雜亂而且空泛，很難在短短的十分鐘之內將問題敘述清楚，進而想到以直線與圓為載體講授數形結合法，這樣兩者兼顧，數形結合有了載體，直線與圓有了方法指導，最終確定了圍繞“數形結合法在直線與圓位置關系中的運用”這條主線，并理出了其核心主線：理論先導——例題呈現——變式探究——小試身手——反思提升.

二、精設初始例題，誘發學生探究

維果斯基認為：教學應著眼于學生的思維最近發展區.微課的目的就是針對重點、難點進行設計，以彌補學生漏聽、未聽或未聽懂這部分知識和方法的不足，有別于習題課、講評課，不是簡單的講題、說題.其中難度控制是最大的問題.其例題的選擇若過于難、偏，則很難發揮其應有的功效.本微課的例題選擇力求從簡，起點低，突出方法的呈現，而且利于變式、拓展、延伸，易于建構核心知識網絡.即從一道學生熟知的例題出發，讓所有學生都能各得其所，都能在不知不覺中受到熏陶、感染，做到“春風化雨，潤物無聲”.

例題已知直線l：x-y+m=0和圓x2+y2=1，求實數m的取值范圍，使得直線和圓分別有兩個、一個、零個公共點.

本例題從學生最易上手的直線與單位圓的公共點問題入手，通過對熟悉例題的再探究，進行知識的回顧、方法的比較.由于例題的基礎性，只展示兩種解法：“以數定形”和“以形助數”.

解法1：代數法.

Δ=（2m）2-4×2×（m2-1）=-4m2+8.

由-4m2+8＞0，得-此時直線與圓有兩個公共點；由-4m2+8=0，得m=此時直線與圓有一個公共點；由-4m2+8＜0，得m＞此時直線與圓有0個公共點.

圖1

解法2：數形結合法.

圓x2+y2=1的圓心為（0，0），半徑為r=1.

圖2

其目的有兩個：一是兩種方法的對比，學生必然會主動地去評價方法的繁簡，通過學習內化的過程，吸取各種解法之精華，進而揭示最簡或最佳的解法，體會數形結合的優點所在，不斷優化解題思維品質，從而提升自身解題的能力；二是從熟知的問題直接展示出解答，可以節省時間，符合微課的特點，詳略得當.

另外，為了給學生一個直觀的解題步驟，由解法提煉了思維導圖，便于學生由一個問題的解法提升為一類問題的解法.由于講解后面變式問題時要用到此例題的結論與所涉及的方法，故例題的詳細呈現是為解決下面的變式問題作好鋪墊.

三、問題驅動探究，完善認知結構

在保持問題的本質不變的條件下，適當地改變試題的條件和結論進行變式，建構知識網絡和知識鏈，利于學生由淺入深地研究問題，了解試題考查的知識點，感悟數學的本質，徹底地從題海中走出來，從而減輕學生的負擔，提高學習效率.

本微課中對例1做了以下變式.

變式1將曲線圓變為曲線半圓，讓學生體會僅僅靠解方程難以解決，體會數形結合的優越性；變式2將斜率一定的動直線變為過定點的動直線，讓學生進一步感受數形結合的魅力；變式3將問題變換為求不定方程中參數的范圍，讓學生體悟轉化與化歸思想、數形結合思想的運用.

通過這三個變式的“分層推進”，學生經歷觀察、比較、分析、聯想、概括、推理等一系列探究活動，從“異”的表象中發現“同”的本質，從“形似”的表象中發現“質異”的本質，將知識的邏輯結構和學生的思維過程有機地聯系起來，使知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構，整個認知過程清新自然，不唐突，無累贅.在認知沖突和方法比較中，將數形結合的思想方法“根植于學生心中”，從而內化為學生自己的能力.既激發學生的學習興趣，又啟發學生的發散性思維，從而培養學生思維的廣闊性、靈活性和創造性.

四、反思提煉細節，力求精益求精

細節鑄就完美，一節優質微課必須經過反復打磨，細致推敲.當然其中的一些細節若是精心提煉，定能起到畫龍點睛的作用.本微課中有以下一些細節是筆者在微課制作過程中不斷強化反思的.

1.教學內容的細節——變式1中起關鍵作用的三條線

在制作微課的過程中，筆者反思變式1的講解中如何才能更凸顯數形結合在解題中的運用，通過細致推敲發現，在直線的運動過程中，出現三種特殊位置的直線：與半圓相切的直線l1，分別通過點A、B的直線l2、l3，這三條直線對研究直線與半圓的公共點的個數起著關鍵作用！

于是筆者在多媒體課件中有意識地突出了這三條線（如圖3）.將解題思維過程展示給學生看，讓學生既“知其然”又“知其所以然”，引導學生關注圖像、分析圖像，更凸顯了數形結合法的直觀，同時使學生對數學問題從本質上有一個深刻的認識，使學生在遇到相關問題時，能迅速找到解題的突破口，培養學生從多角度分析問題、從多途徑解決問題的能力.

圖3

2.練習設計的細節——練習與測試中的拓展延伸

一節成功的微課，包括它的練習設計也要臻于完美.對于本微課中的練習與測試，筆者也是精心設計，細致打磨.

由于微課的時間限制，所以就進行了三次變式訓練，其實筆者在備課的同時還準備了另外的變式題，放在“練習與測試”和“探究延伸”之中：（練習與測試中的第1到4題略去）

練習與測試5.已知圓O：x2+y2=r2（r＞0）上有且僅有一個點到直線l：x-y+2=0的距離為1，求實數r的值.

這三道變式題與微視頻中的三次變式訓練圍繞基本技能，基于多角度、多視角出發而精心設計.探究延伸1是恒成立問題，探究延伸2是有解問題，這樣既增加了探究題的難度，又聯系了以前的知識，改變了考慮問題的方向和角度，拓展了知識和思維，從縱向、橫向、逆向等展開多向探索，構成了一個完整的變式鏈和知識網，即：知識點涵蓋了動直線（平行直線系→中心直線系）和定圓（圓→半圓），以及定直線和動圓，動靜結合；同時涵蓋了高考中的幾大熱點、難點問題，即方程有解→不等式恒成立→不等式有解，并且突出了數形結合的兩類解題思路：函數→方程→不等式（數），直線與曲線（圖形）.通過精選變式訓練，加深學生對數形結合的理解，促進學生解題技能的形成.

五、精煉課堂小結，詳講略提得當

由于微課短小精悍的特點，所以對微課中“哪些地方要詳細講，哪些地方只要點到為止”都要細致推敲.

本微課的引入就以兩點：數形結合法的定義和解題思路作為先導（如圖4和圖5）.

1.思想方法

數形結合法：就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想方法.

圖4

2.解題思路

圖5

讓學生先對數形結合思想有理論上的認識，知道其包含“以數定形”和“以形助數”，以及此方法的優勢：使復雜問題簡單化，使抽象問題直觀化，以便為后面的學習打下情感鋪墊.另外，總結常用解題思路，言簡意賅，讓學生對這類問題的解題步驟有個初步了解.

例題的講解及變式探究，是本微課的核心部分，筆者“不惜筆墨”，占據了大多數的時間.通過變換問題的呈現方式，激起學生思維的“千層浪”，發展學生思維的深度和廣度.這樣一組環環相扣、層層遞進的變式探究，形成“問題鏈”，實現知識的前串后聯，提升對知識理解的整體性.

一節課的小結必不可少，微課同樣如此.由于微課的“微小”，其小結也必須干凈利落，對學習內容起到提綱挈領、畫龍點睛的作用，可以使得一節課上升到一個新的理論層次，給人一種“余音繞梁，三日不絕于耳”的感覺.

本微課中總結用數形結合法解決直線與圓的位置關系相關問題時，用了六個字、三句話來總結：領悟、確保、抓住！

①領悟方程的幾何意義及曲線的代數特征；

②確保所畫草圖清晰、準確、規范、完整；

③抓住圖形的特征結合數學運算.

通過這“三點六個字”的提煉，簡單明了，便于記憶，引導學生對數形結合的理解再升華，同時喚起學生對所學知識的記憶與梳理，提高學生解題的規范性、準確性.

本次微課比賽，筆者給出的是一節高三小專題復習課.高三數學的專題復習常常目標不夠清晰，專題指向不明確，追求學習容量與節奏，問題設計不合理，思維含量少，導致學習效果不佳，簡單重復，沒有新意.而小專題復習微課有效地避免了這些問題，因此微課中針對這些問題，讓學生親身體悟數形結合的運用，在問題解決中學會運用數形結合解決一類問題的方法，優化解題思維，提高解題能力.

在微課的錄制過程中，應力求語言的縝密、簡練，每個字、句都要精心推敲，確保準確無誤，同時對所教授的知識必須爛熟于胸，保證知識點之間的過渡流暢、自然，并且錄制時注意語言柔和、抑揚頓挫、口齒清晰，并富有感染力，這樣會拉近與學生的距離，更能激發學生學習的積極性與創造性.通過這次微課大賽，筆者得到以下一些感悟.

（1）微課是一種資源.

微課是時代的產物，隨著信息的發展，人們閱讀、學習習慣的改變，在這樣的一個“微”時代，微課的形成成為必然.由于微課的短小精悍，易于學生“移動學習”，可以為學生搭建自主學習的平臺，為課堂面授教學作必要的輔助補充，可以成為一種新型的“移動家教”，使得學生對難點、重點進行各個擊破式消化、理解.但是它不能代替傳統課堂，不能取代充滿智慧、充滿活力、充滿生命的課堂，只能是一種輔助教學資源.

（2）倡導“樸素”的微課.

由于微課是高度聚集濃縮課的展示，所以微課的制作對教師在選題、設計、實施、應用等方面的教學功底提出了更高的要求，因此，應該追求“樸素”的微課，即注重教學設計的精細而不是微課形式的華麗！這樣既節省人力物力，而且設備技術門檻低，易于操作，教學效果好.過于花哨的微課制作就有喧賓奪主之嫌，而且耗費教師大量的精力，分散學生對知識點的把握，適得其反.這就要求教師在教學的大環境中不斷追求細節，追求精致，超越自我！

（3）利用微課易于開展“小專題”教學.

微課的“微”，有助于針對學生突出的問題，開展“小專題”教學，并以微課的形式展現.如本微課只講授“數形結合法在直線與圓位置關系中的運用”，涉及的面小，知識點精，易于學生掌握、理解.在平時尤其是高三第二輪復習中，有針對性地開展一些“小專題”類的微課教學還是大有裨益的.

1.任心燕.微課教學研究初探［J］.北京宣武紅旗業余大學學報，2014（1）.