基于動態平衡的課堂“五環節”設計

☉浙江省杭州第十一中學蔡小雄 陳發志

基于動態平衡的課堂“五環節”設計

☉浙江省杭州第十一中學蔡小雄 陳發志

教學是一個有預設、有生成的過程.華東師范大學教授葉瀾曾說過：“對教師而言，如果將其教學工作任務進行高度的概括，我們就會抽取出兩個最核心的要素——‘教什么’和‘怎么教’，即教學預設和課堂生成.”在新課程改革中，更需要把握“生成”與“預設”之間的平衡，在平衡中尋求教學效果的最優化.如何在課堂教學中實現“預設”和“生成”的動態平衡（這里說的“平衡”不是0.5，是0.618，是“生成”與“預設”之間的黃金分割點）？關鍵是要從課堂的五個主要環節入手，即從新課引入、問題設計、解題過程、反思小結和鞏固訓練等環節入手，從學生的最近發展區出發，關注學生的認知差異，關注學生的發展，讓“生成”為每個學生創造主動投身教學活動的機會，用教師已有的實踐智慧對課程資源靈活機智地加以激活、捕捉和運用，促使課堂向多角度、全方位、高效率的目標發展.

一、新課引入：挖掘教材內容，在情境創設中關注動態平衡

“預設”和“生成”離不開一定的載體，在數學教學中，這個載體就是教材.教師的預設應該始終圍繞著教材的內容和要求展開，因此，在新課引入的過程中，教師要充分挖掘教材的數學史情境，深化教材例題的探究價值，整合和改編教材中的例題，創造性地使用教材，設置靈活有趣的教學情境，讓學生全方位、全身心地投入到學習中.

1.挖掘教材的數學史情境

數學文化是人類文化的重要組成部分，數學課程要適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，幫助學生了解數學在文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.因此，教材中設計的一些問題都蘊含著濃厚的數學史背景，教師在預設新課的過程中，應挖掘其背后的數學文化內涵，創設富有數學史的教學情境，介紹一些經典的數學名題的由來，這能激發學生的好奇心與求知欲.同時讓歷史名題的解答過程成為學生知識建構的過程，用名題對數學發展的影響價值來開啟學生對未知數學領域的認識.

例1長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程.

這是人教版數學必修2第124頁的一道習題，題目本身并不難，設A點的坐標為（2x，0），B點的坐標為（0，2y），則AB的中點M的坐標為（x，y），由此得到方程化簡得x2+y2=a2.如果教師就是簡簡單單的就題解題，學生的學習興趣也就無法激發，其“生成”也會成為被動的“生成”，學習效果將大打折扣.基于此，教師可深入挖掘本題的數學史背景，先設置一個數學史的情境，再引導學生解答本題，同時進行拓展加深.本題的數學背景是卡丹旋輪問題.

卡丹旋輪問題：一個圓盤沿著半徑為其兩倍的另一個圓盤的內緣滾動時，這個圓盤上標定的一點所描出的軌跡是什么？這是意大利數學家卡丹（Cardano，1501—1576）提出的問題.而在一千多年前，古希臘哲學家鮑克斯提出了下面的類似問題：“一條動直線上有三個點，其中兩個點沿一個固定的直角的兩條邊滑動，求第三個點的軌跡.”教師先提出這兩個名題，學生的學習興趣一下子就能激發起來，當然，教師的教學目的并非是要學生來求解這兩個問題，而是以這兩個問題為依托設計逐步遞進的問題，運用相關點法求解軌跡方程.

實際上類似的具有數學史背景的問題還有必修2第124頁的一道習題：已知點M與兩個定點O（0，0）、A（3，0）的距離之比為求點M的軌跡方程.本題的背景是著名的阿波羅尼斯圓：平面上兩點A、B，則所有滿足k（k不等于1）的點P的軌跡是一個圓.這個定理是由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的.教師在解決該問題的過程中，若根據其數學史背景進行預設，能讓學生體驗到數學問題的探究樂趣，有助于增強學生思維的生長性.

2.深化例題的探究價值

例題和習題是數學教學活動的載體，是數學基礎知識應用的精華.課堂教學中，要充分挖掘和研究例題的價值，將例題的問題加以深化延伸，采用將問題形式改成開放題、將定值問題改為含參量的討論題、將一種思考方式換成多角度探究、借助信息技術完善探究過程等方法，創設螺旋上升的思維情境，達到預設與生成的動態平衡.人教版必修2第127頁的例1就是一道值得深化探究的問題.

例2已知直線l：3x+y-6=0與圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關系.

本題的設計意圖是讓學生掌握判斷直線與圓位置關系的兩種方法：一是根據直線與圓組成的方程組的解的個數來判定，二是根據圓心到直線的距離與半徑長的關系來判斷.本題經過進一步深化后，具有非常好的探究價值，可以將定值問題改編成含參數的問題，從而將分類討論的知識融入進來.

探究1：若直線方程為mx+y-6=0，又如何？

同時，也可進一步提高分類討論的難度，進一步深化為探究2.

探究2：若圓的方程改成x2+y2-2mx+6my+10m2-1=0，又如何？

甚至可以進一步以原題為載體，訓練學生對弦長公式的理解.

探究3：在探究2的基礎上，若直線與圓相交，請將弦長用m表示.

以上三個探究，分別在原題直線與圓都固定的情況下，教師充分進行“預設”，而且這些“預設”都圍繞著學生的最近發展區，圍繞原題緊密進行拓展.引入參數，使直線與圓動起來，從單一的判斷直線與圓的問題，深入到探究直線系與圓的位置關系、圓系與直線的位置關系、直線與圓相交的弦長公式等，不斷深化例題的數學價值，能有效提高學生的數學品質.

3.整合教材中的多個例題

教材是執行課程標準與體現課改精神的載體，也是眾多教育專家和一線教師智慧的結晶.教材上的每個章節、每一道習題都有一定的教學目標，不僅如此，例題中的每一個要求、問題，其背后都蘊含著特定的意圖.因此，教師進行教學預設的過程中，要挖掘教材蘊含的培養學生思維、能力等方面的因素，將教學意圖相同或者相近的例題進行整合，從而提高教學的系統性，讓學生生成的都是“知識串”和“知識網絡”，而非單一的知識點.如我們可以對人教版選修1—1第35—37頁的例2、例3探究與發現的內容進行有效地整合，形成以下的題組.

例3（1）在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？

（2）設點A、B的坐標分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為求點M的軌跡方程.

（3）用平面去截圓柱，能得到一個橢圓嗎？該怎么截?。?/p>

（4）如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）.

A.圓 B.橢圓

C.一條直線 D.兩條平行直線

教材對例2和例3的編寫意圖非常明確，就是讓學生了解除了橢圓的定義之外，還可以通過將圓進行伸縮變換、到兩定點的斜率之積為定值、用平面去截圓柱而得到橢圓（例2同時還向學生介紹了用相關點法求軌跡方程）.因此，在統一的立意下，可將此例題與探究進行整合，使之更富有邏輯體系，學生也能了解除了知識和方法之外的數學思想.而（4）是2008年高考浙江理科卷第10題，是對上述知識的綜合運用.整合要有知識運用、能力提升的問題融入，這樣方能讓學生學以致用，舉一反三.

二、問題設計：捕捉隨機因素，在答疑解惑中關注動態平衡

課堂教學是教師和學生在特定情境中交流和對話的過程，它呈現動態的、多層次的、多角度的非線性過程，因此再高明的老師也不可能完美地預設好課堂上的所有內容和環節，課堂教學中總有一些預設之外的“意外”發生.當這些預設之外的“意外”發生時，有的教師粗暴打斷，繼續沉浸于“預設”中無法自拔；有的老師對“意外”無限延伸，沖淡原本的教學內容和主題.教師在這些“意外”發生時，要及時捕捉學生的靈感火花，泰然處之，根據課堂實際情景調整“預設”，把握時機，掌握尺度，積極引導，有效地將“意外”引導為“生成”.

例4在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a+c=10，C=2A，cosA=

（2）求b的值.

這是高三復習課上的一道例題，問題很常規，難度也不大，考查的是正、余弦定理和三角公式的運用.在上課的過程中，教師和大部分學生都采用了如下所示的解法.

大部分學生都采用了上述解法，然而就在教師準備引導學生練習下一道題目時，一個學生提出如下問題：老師，這道題目我用正弦定理去做，做出來只有一個答案，并向教師展示了其解題過程，如下所示.

cosC=cos2A=2cos2A-1=所以.又.由正弦定理，所以解得b=5，只有唯一的答案.

上述過程的推理與計算都是滴水不漏的，但是利用兩種解法得到的答案為什么不一致呢？教師意識到這個問題必須向學生解釋清楚，其中必然有一個解法存在不全面的地方.第二種解法也確實是教師沒有想到的.這個時候任何“預設”都已經沒有用了，而且課堂上也來不及去找出錯誤的地方了.怎么辦？只能及時調整策略，引導學生自己去發現問題的根源了.

教師拋出了問題：本題中b=4是否應舍去，即符合條件的三角形有幾個？學生馬上發現三角形的三個角都是確定的，同時告訴我們兩邊的關系，這樣的三角形是確定的，即只有一個，所以b=4可能為增根.接著再問：你能檢驗b=4是否成立嗎？學生根據三邊長，求出當b=4時，這與已知得到的不符.既然知道了結論，教師進一步引導學生尋求產生誤差的根源：運用余弦定理時只使用了a、c、cosA這三個已知條件，能唯一確定一個三角形嗎？學生作圖得知條件為兩邊一鄰角，不能唯一確定三角形，因此這種解法將角C為鈍角的情況也考慮進去了，從而產生了增根.因此學生自然就知道了第一種解法產生錯誤的原因，是忽略了這一限制條件.上述三個提問，事先并沒有經過預設，而當在課堂教學中出現“意外”時，教師應放低身段，站在學生的立場一同思考問題，找出根源，從而在不斷提問和答疑解惑過程中實現“預設”與“生成”的動態平衡.

三、解題過程：展示真實想法，在示錯糾偏中關注動態平衡

在數學教學中，常有學生將錯誤的問題進行訂正后，過段時間仍然會犯同樣的錯誤.究其原因，主要是因為學生并未真正理解產生錯誤的根源，沒有透徹地理解問題的本質.因此，在解題過程中，要讓學生能展示自己的真實想法，在示錯的過程中幫助學生提高對數學知識的理解和運用.

“示錯”即“展示錯誤”，但是它并不是簡單地將錯解展示在學生面前，而是教師先“預設”——即通過對學生所犯錯誤的觀察，選擇典型的例題，然后由學生“生成”——即讓學生來表述解題的思路和想法，教師再根據學生的表述來指出所犯錯誤的根源，進而幫助學生解決問題、糾正偏差，避免類似的錯誤再犯.在這樣的示錯糾偏過程中，學生收獲的不僅僅是解決一道題或者一類題，而是培養了正確的解題方式、思維習慣和反思能力.

1.概念理解的示錯糾偏

數學概念是學生對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式.正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和基本技能的基礎.而在平時的學習過程中，經常會遇到一些形似而質異的概念，如果不及時理清楚，常會出現大量雷同的錯誤.

例5已知數列｛an｝的前n項和Sn=3n-2，則數列｛an｝的通項公式為_________.

這道題看似非常簡單，主要考查數列的通項公式an和前n項和Sn之間的關系，是一道高考中常見的問題.然而很多學生會出錯，主要是直接用公式an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1，而沒有分n=1和n≥2兩種情況進行討論.因此，教師預設的過程就是要讓學生展示真實的想法，暴露對公式理解存在的問題.

在學生展示解題思路an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1

之后，教師可進一步提問：根據已知條件，a1的值是多少？根據所求出的公式an=2·3n-1求出的a1的值是多少？產生偏差的原因在哪里？通過三個問題，在教師的“預設”下，引導學生水到渠成地“生成”正確的公式應該是an=

2.類比遷移的示錯糾偏

類比遷移在數學的學習中有著不可替代的地位，在眾多的思維方法中，類比遷移方法對解決某些數學問題起著非常重要的作用.掌握了類比遷移的方法，在數學學習中容易做到活學活用，舉一反三，將復雜問題簡單化，能夠深刻把握問題與問題之間的聯系.而很多學生進行類比遷移時，忽略了只有本質相同或相似的概念才能進行類比這一點，僅僅依據形式上相似不分青紅皂白地進行遷移，往往就會產生錯誤.因此，在解題過程中，教師要引導學生合理區分辨別事物是否具有可類比性，類比的同時是否有不同點，合理對問題進行預設，通過揭示學生在類比遷移中所犯的錯誤，歸納和總結出其數學本質.

例6已知數列｛an｝的通項公式為an=n2-2λn，且｛an｝為遞增數列，則實數λ的取值范圍為_________.

在數列教學中，很多教師都會談及數列與函數的關系，數列是特殊的函數（定義域為正整數集或其子集），因此函數問題的解決思路和方法都可以類比遷移到數列問題的解決中.在此背景下，大部分學生都會采用以下的方法：因為｛an｝為遞增數列，因此通項公式對應的函數f（x）=x2-2λx在［1，+∞）上為單調遞增函數，所以函數的對稱軸直線x=λ在直線x=1的左邊，即λ≤1.如何暴露這種解法的錯誤根源？教師可以“預設”以下幾個問題，引導學生“生成”正確的認識：一定要求f（x）=x2-2λx在［1，+∞）上為單調遞增函數？可以改成在上為單調遞增函數嗎？學生通過思考，發現此時仍然是符合的，因為a2＞a1.由此教師進一步引導：是不是找到一個a2= a1的臨界點就可以了？學生可順勢“生成”一個臨界點：x=因此，直線x=λ在直線的左邊就符合，從而不難得出正確答案

3.等價轉化的示錯糾偏

靈活而正確的等價轉化，總會給問題的解決帶來諸多的便利，然而在實際的學習過程中，學生常?；煜说葍r轉化與非等價轉化，忽略了等價轉化的一些限制條件，從而導致錯誤.作為教師，如何揭示轉化的不等價性，即轉化的過程中要及時增加限制條件才能保證等價，這是示錯糾偏的關鍵.

判斷函數的奇偶性，大部分學生都想到判斷f（-x）與f（x）的關系，因此，很多學生也想將f（x）進行如下的化簡因此，原函數為奇函數.實際上等價化簡的過程中，若有一個步驟出現不等價，則會影響題目的答案.在學生展示上述解題過程后，教師可提問：能保證每個步驟的化簡過程都是等價的嗎？引導學生去發現根源所在：是不等價的，需要增加條件由此可得函數的定義域不關于原點對稱，所以函數f（x）既非奇函數又非偶函數.

四、反思小結：完成提煉升華，在畫龍點睛中關注動態平衡

張奠宙先生曾指出：現在的課堂教學中，很多習題課都是大容量、快節奏、高密度的解題訓練課，目的是熟練，往往不注重提煉數學思想方法，學生的認識達不到新的境界.教師的很多“預設”是讓學生“一看就會，一做就對”，而不是引導學生進行解題反思，進行提煉升華，讓學生再回頭看看知識的“發生”和“生成”的過程.因此，實現預設與生成的動態平衡，需要教師在學習過程和解題之后的畫龍點睛——梳理解題的思路方法，點出蘊含的思想方法，揭示問題的數學本質.

本題是函數的零點問題，解決函數零點問題常用到轉化與化歸、數形結合、函數與方程等數學思想，因此，該類問題備受命題者青睞.學生一般能用數形結合的思想，將問題轉化為函數的圖像無交點，因此，結合兩者的圖像知半圓與折線無交點，因此0＜a＜1或a＞2.

如果上述解題就到此結束，學生也就無從生成，只是欣賞了一種看似巧妙的解題過程，卻無法深入接觸到本質.因此，要實現學生的有效生成，需要教師對問題進行提煉升華，需要一些點睛的“預設”.

點睛1：你能對條件進行轉化嗎？

這是轉化與化歸思想的運用，引導學生將題目的條件進行轉化：（1）可以轉為為函數f（x）在定義域上恒大于0或恒小于0；（2）可以將變量a與x進行分離變形成g（a）=h（x）無解；（3）可以轉化為函數的圖像無交點；（4）進行三角換元，合理處理絕對值和根號.點睛1的作用是完成對核心思想在一類問題中的運用的引領作用.

點睛2：將條件轉化后，你有哪些方法解決該問題？

轉化（1）涉及函數的最值，因此，學生自然也就能想到導數的運用，通過求導得到函數的極值點，進而求出函數的最值.當x＞0時，由f′（x）=0，得x=）上函數f（x）單調遞增，在上函數f（x）單調遞減，結合函數f（x）為偶函數，可求出：求出0＜a＜1或a＞2.同理，對于（2）（3）（4），也都可以找出相應的解法.點睛2是引導學生根據不同的轉化條件采用不同的方法解決問題.

五、鞏固訓練：設置彈性練習，在變式探究中關注動態平衡

具有不同基礎的學生，因自身能力和數學素養的不同，在同一個預設問題下，所生成的內容和表現出來的能力也是不盡相同的.教師應當認識到這些差異，在設置鞏固訓練的時候，設置彈性練習，讓學生根據自身能力情況進行選擇.設置鞏固練習時，要以變式訓練的形式出現，逐步加強難度，為學生的思維逐步發展搭設巧妙而合理的“臺階”.如在學習平面向量基本定理時，為進一步鞏固學生對知識的理解，教師可布置如下的問題和變式訓練.

變式1：已知正方形ABCD的邊長為1，E為AB邊上的點，則的最大值是_________.

變式2：在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°， E為CD的中點，若則AB的長為_________.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

數學課堂是千變萬化的，荷蘭數學家弗賴登塔爾說過：“學習數學的唯一的正確方法是實行再創造，也就是由學生把要學習的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生.”因此，教學中，我們需要預設，但不能太依賴預設；我們關注生成，但不能只期待生成.課堂應該是在預設中生成，在生成中預設.我們要尋找、把握預設與生成之間的平衡，讓課堂展現勃勃生機，讓課堂成為促進學生高效學習的動力源.