編擬習題時應注意問題的存在性

☉北京市豐臺二中 甘志國

編擬習題時應注意問題的存在性

☉北京市豐臺二中 甘志國

例1若正三棱錐P-ABC的側面積、體積分別為12、4，求點A到面PBC的距離.

常規解法：可求得該正三棱錐的側面PBC的面積是4，由等體積法可求得點A到面PBC的距離為3.

筆者的分析：此解答正確嗎？請看下面一個定理.

定理1設正n（n∈N*，n≥3）棱錐的側面積、體積分別是S、V，側面與底面所成的角是

從而可得結論（1）成立.

（2）同結論（1）的證明法可得.

由定理1可知例1是道錯題：當正三棱錐的側面積是12時，體積的取值范圍是當正三棱錐的體積是4時，側面積的取值范圍是

我們在編擬習題時，應注意問題的存在性.

例2一個等比數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則am+1=____.

常規解法：設等比數列｛an｝的公比是q，得a1a3a5…a2m+1=

筆者的分析：早在2006年5月21日，網絡上就出現了這道題，并給出了其解法（即以上常規解法）；筆者也曾把這道題選入專著《教材教法》（甘志國著，哈爾濱工業大學出版社，2014）第454頁（答案在第482頁）.

近日筆者才發現例2也是道錯題.

由題設知am+1m+1=100，am+1m=120，所以100m=120m+1（m∈N*）.而顯然有100m＜120m+1（m∈N*），所以滿足題意的數列｛an｝不存在，即原題是道錯題.

即使把例2中的“100”與“120”互換，滿足題意的數列｛an｝仍不存在.因為120m=100m+1（m∈N*）也不會成立，該等式左邊有約數3，而右邊沒有；該等式右邊有約數52m+2，而左邊沒有.

說明編擬例2這樣的習題時，一定要慎重：要注意滿足題設的數列是否存在.

定理2（1）若一個各項都是復數的等差數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之和為b，偶數項之和為c，則存在這樣的等差數列｛an｝的充要條件是b=c=0（且此時有a1=-md，d是等差數列｛an｝的公差，下同）或且此時有a1=b-c-md）；當這樣的等差數列｛an｝存在時，am+1=b-c.

（2）若一個各項都是復數的等比數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之積為b，偶數項之積為c（bc≠0），則這樣的等比數列｛an｝存在的充要條件是當這樣的等比數列｛an｝存在時，

進而可得欲證成立.

改編題1（1）若一個等差數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項、偶數項之和均為0，則am+1=_______；

（2）若一個等差數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之和為15，偶數項之和為10，則am+1=_______；

（3）滿足“一個等差數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之和為16，偶數項之和為10”的數列｛an｝是否存在？

答案：（1）0.數列｛an｝是存在的，比如2，1，0，-1，-2.

（2）5.數列｛an｝是存在的，比如1，3，5，7，9.

改編題2（1）若一個等比數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項、偶數項之積均為1，則am+1=_______；

（2）若一個等比數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之積為729，偶數項之積為81，則am+1=_______；

（3）若一個等比數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之積為-1，偶數項之積為1，則am+1=_______；

（4）若一個等比數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之積為1，偶數項之積為-i，則am+1=_______；

（5）滿足“一個等比數列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項，奇數項之積為1，偶數項之積為2”的數列｛an｝是否存在？

答案：（1）1.數列｛an｝是存在的，比如1，-1，1，-1，1.

（2）9.數列｛an｝是存在的，比如1，3，9，27，81.

（3）-1.數列｛an｝是存在的，比如-1，1，-1，1，-1或1，i，-1，-i，1.

（4）i.數列｛an｝是存在的，比如i，i，i，i，i，i，i或-1，-i，1，i，-1，-i，1.

例3（2008年廣東省廣州市高考數學二模試卷（文科）第13題）已知a為正數，定義運算“?”如下：對于任意的m，n∈N*，若m?n=a，則（m+1）?n=2a，m?（n+1）=a+1.當1?1=1時，則1?10=_______，5?10=_______.

常規解法：由題設得1?（n+1）-1?n=1，即｛1?n｝是首項、公差均為1的等差數列，得1?n=n，所以1?10=10.

由已知可得（m+1）?10=2［m?10］，即｛m?10｝是首項為10、公比為2的等比數列，得m?10=10·2m-1，所以5?10=160.

筆者的分析：因為m?（n+1）-m?n=1，即｛m?n｝是首項為m?1、公差為1的等差數列，得m?n=（m?1）+n-1.①

在①中令m=1，得1?n=n.②

還可得（m+1）?n=2［m?n］，由此可得m?n=（1?n）· 2m-1.③

在③中令n=1，得m?1=2m-1.④

由①④及②③，分別得m?n=2m-1+n-1，⑤

m?n=n·2m-1.⑥

⑤⑥顯然是兩種不同的答案：由⑤得5?10=25，由⑥得5?10=160.

即例3是道錯題.

改編題3（1）已知a為正數，定義運算“?”如下：對于任意的m，n∈N*，若m?n=a，則（m+1）?n=a+2，m?（n+1）=a+1.當1?1=1時，求證：m?n=2m+n-2.

（2）已知a為正數，定義運算“?”如下：對于任意的m，n∈N*，若m?n=a，則（m+1）?n=2a，m?（n+1）=3a.當1?1=1時，求證：m?n=2m-1·3n-1.

例4（2011年全國高中數學聯賽試卷B第5題）若△ABC的角A、C滿足5（cosA+cosC）+4（cosAcosC+1）=0，則tan

例5（東北育才等遼寧五校2011-2012學年度上學期期末高二年級數學試卷（理）第12題）已知f（x）為定義在R上的可導函數，滿足f（x）＜f′（x），且f（x-1）為偶函數，f（-2）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為（）.

A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.（e4，+∞）D.（-∞，e4）

常規解法：由f（x-1）為偶函數，f（-2）=1，可得f（0）=1.在R上為增函數.所以不等式f（x）＜ex，即的解集為（-∞，0）.故選B.

筆者的分析：本題也是一道錯題.因為可證f（x）＜0（x∈R）.

由g（x）=f（x-1）為偶函數可證得g′（x）=f′（x-1）為奇函數.

又由f（x）＜f′（x），得f（x-1）＜f′（x-1），f（-x-1）＜f′（-x-1）.

相加，得2f（x-1）＜0，f（x-1）＜0，即f（x）＜0（x∈R）.

即滿足題設及四個選項之一的函數f（x）不存在.

例6已知函數f（x）的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數f（x）在D上為非減函數.設函數f（x）在D上為非減函數，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f（x），則

筆者的分析：這是某資料上的一道題，筆者發現它也是一道錯題.

條件②即f（3x）=2f（x），由此可得f（3-3x）=2f（1-x）.兩式相加后，用條件③，得f（3x）+f（3-3x）=2，即f（x）+f（3-x）=2.再由條件③，得f（3-x）-f（1-x）=1，即f（x+2）=f（x）+1.

在原解法中已求得f（1）=1，再由f（x+2）=f（x）+1可求得f（3）=2，f（5）=3，f（7）=4，f（9）=5.

另一方面，由f（1）=1及f（3x）=2f（x）可求得f（3）=2，f（9）=4.

前后矛盾！所以例6是道錯題.因為滿足題設的函數f（x）不存在.

筆者的分析：這道題目是馬茂年主編的《高中數學競賽實戰演練·高一分冊》（浙江大學出版社，2007年第2版）第75頁第6題（解答在第168頁），它也是道錯題.錯在沒有注意問題的存在性.

而sin6α+cos6α=（sin2α）3+（cos2α）3＜13+13=2，所以3＜2，這不可能！所以原題是道錯題.出錯的原因是題設中的一個未知數α的兩個方程是不相容的，這樣的α不存在.

例8設｛an｝是一個各項都是實數的等比數列，Sn是它的前n項和，若S10=10，S30=70，則S40=（）.

A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-500

常規解法：設S20=x，S40=y.由｛an｝是一個等比數列，得S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30為等比數列.

所以（x-10）2=10·（70-x），（70-x）2=（x-10）（y-70）.

得（x，y）=（30，150），（-20，-200）.

所以答案為C.

筆者的分析：上述解答錯誤，正確解法如下.

把這兩式相除，得1+q10+q20=7，即（q10-2）（q10+3）=0，所以q10=2.再得150.故正確答案為A.

還可驗證，滿足題設的數列有且僅有兩個：an=

原解答的錯誤原因是：S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是公比為正數q10的等比數列，當x=30時，數列S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30為10，20，40，80，得公比q10=2＞0，所以S40=y= 150；當x=-20時，數列S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30為10，-30，90，-270，公比q10=-3＜0，因此S40=y=-200應舍去.所以正確答案為A.

若把題設中的“實數”改成“復數”，則正確答案為C（且滿足題設的數列有且僅有10個）.

例9已知f（x）是偶函數，且f（1）=993，g（x）=f（x-1）是奇函數，求f（2005）的值.

常規解法：由f（x-1）是奇函數，得f（-x-1）=-f（x-1），即f（x）=-f（-x-2）.

又f（x）是偶函數，得f（x）=-f（-x-2）=-f（x+2），所以f（x+2）=-f（x）.由此可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.

所以f（2005）=f（1）=993.

筆者的分析：此題在網絡上出現頻繁，并給出了其解法（即以上常規解法）；筆者也曾把這道題選入專著《教材教法》（甘志國著，哈爾濱工業大學出版社，2014）第452頁（答案在第482頁）.

近日筆者才發現例9也是道錯題：

由g（x）=f（x-1）是奇函數，得g（0）=f（-1）=0.再由f（x）是偶函數，得f（1）=0，這與題設“f（1）=993”矛盾！說明滿足題設的函數f（x）不存在.修改建議：把題設中的“且f（1）=993”去掉.修改之后的答案為“0”.