回歸催生本源形式?jīng)Q定思路──2014年高考數(shù)學(xué)全國新課標Ⅱ卷理科第17題探究

☉陜西省武功縣教育局教研室 李歆

回歸催生本源形式?jīng)Q定思路──2014年高考數(shù)學(xué)全國新課標Ⅱ卷理科第17題探究

☉陜西省武功縣教育局教研室 李歆

2014年高考數(shù)學(xué)全國新課標Ⅱ卷理科第17題：

已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1.

是等比數(shù)列，并求｛an｝的通項公式；

命題組提供的參考答案如下所示.

解：（Ⅰ）由an+1=3an+1，得是首項為、公比為3的等比數(shù)列.

在上述解法中，命題組巧妙地構(gòu)造了一個中間不等式“3n-1≥2×3n-1”，這就像是“天外來客”，不僅讓學(xué)生感到陌生、驚訝，就連教師也覺得莫名其妙.為了找到教師和學(xué)生都滿意并且能接受的方法，筆者從解決這類問題的放縮對象an入手，開始了下面的探求之旅.

旅程1：關(guān)于數(shù)列｛an｝的通項公式的另一種表示

通常情況下，我們對數(shù)列｛an｝的通項公式的表示都是寫成①這種形式，這種形式既簡單優(yōu)美，又受到老師和學(xué)生的喜愛，但是這種形式用來證明問題（Ⅱ）中的不等式時卻有一定的局限性，因為在的分母中出現(xiàn)了兩項的差，“用放縮法將分母縮小使分式值放大”做起來困難較大，由此筆者想到：如果能改變｛an｝的通項公式的表示形式，使的分母上出現(xiàn)若干項的和，那么問題（Ⅱ）的證明可望得到順利解決.筆者的思路回歸到課本，從探求數(shù)列通項公式的源頭上找到了答案.

由已知得：

a1=1，

a2=3a1+1=3+1，

a3=3a2+1=32+3+1，

……

猜想：an=3n-1+3n-2+…+32+3+1②.

證明如下所示.

（1）當n=1時，a1=31-1=1，可知②式成立.

（2）假設(shè)當n=k時，②式成立，即有ak=3k-1+3k-2+…+32+ 3+1，那么當n=k+1時，ak+1=3ak+1=3（3k-1+3k-2+…+32+3+1）+ 1=3k+1-1+3k+1-2+…+33+32+3+1，即知②式也成立.

綜合（1）（2）知：對一切n∈N*，②式都成立.

評注：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)列中的一些概念、公式、定理等在形成與生成的過程中往往滲透了觀察、歸納、猜想、證明等基本的解題思想和方法，當我們在解決由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式問題時，應(yīng)當首先想到這種方法.以上采用“歸納猜想法”，得到了數(shù)列｛an｝的通項公式的另一種表示形式②，雖然在結(jié)構(gòu)上比①式要復(fù)雜一些，但卻為第（Ⅱ）問用放縮法證明指明了方向，因此，從這個意義上來說，形式?jīng)Q定思路.

有了通項公式②，不等式③的證明如“水到渠成”，暢通無阻.

綜上可知不等式③成立.

很顯然，按照上述模式繼續(xù)下去，還可以得到證法4、證法5等.

根據(jù)上述證法2、證法3，可以得到不等式③的如下兩個加強.

加強1：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1，則有：

加強2：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1，則有：

評注：對不等式③的證明，還有許多其他方法（如文獻1、文獻2等），但利用通項公式②之后，使放縮的內(nèi)容發(fā)生了質(zhì)的變化，從而使不等式③的證明實現(xiàn)了根本性的突破.這樣的證明不僅思路自然，別具一格，而且在放縮過程中沒有任何的技巧性，容易被眾多學(xué)生和教師所接受.將①式和②式的結(jié)構(gòu)加以比較，以及它們在不等式③的證明中所起到的作用加以分析，就會得到這樣的結(jié)論：在數(shù)學(xué)解題中，追求某種最佳結(jié)果固然重要，但有時將某種過程暫時停留，往往能獲得異樣的精彩.

旅程3：關(guān)于試題的推廣

對以上探究進一步分析，可以將上述高考試題作如下推廣.

推廣：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=q，an+1=pan+q，其中p、q為常數(shù)，且p＞1，q＞0.

高考試題是命題專家經(jīng)過深思熟慮后精心編制的經(jīng)典題，有一定的基礎(chǔ)性和指導(dǎo)性.但是命題者提供的參考答案并不全是完美的，有些解法在很大程度上存在著較大的局限性，因此，教師在選用高考試題時，必須對標準答案作深入細致的分析與研究，要站在學(xué)科教學(xué)的角度，并結(jié)合學(xué)生的實際思維水平，從多個角度、多個視角對高考試題進行求解與改編、加強和推廣，這樣對于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，領(lǐng)悟高考試題的內(nèi)涵功能，正確把握復(fù)習(xí)方向，都有著非常重要的意義和作用.

1.王帥.以一道高考數(shù)列問題為例談解題思路的尋找［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（9）.

2.彭衛(wèi)星.解決與數(shù)列有關(guān)的不等式求和問題若干策略——以2014年高考新課標卷Ⅱ第17題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（10）.