由引例探究圓錐曲線的“中點弦”

☉江蘇省包場高級中學 湯琛琳

由引例探究圓錐曲線的“中點弦”

☉江蘇省包場高級中學 湯琛琳

直線與圓錐曲線相交所得“中點弦”問題，是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的一個熱點問題.解決此類問題，常規思路主要有兩種：一是利用代數法結合根與系數的關系求解；二是利用點差法處理.本文以教材中一道雙曲線“中點弦”問題為引例，展開探討.

一、問題引入

引例：（人教A版選修2-1第62頁習題B組第4題）已知雙曲線過點P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點.

解析：設點A（x1，y1）、B（x2，y2），分別代入曲線方程，兩式相減得即（x1+x2）（x1-

由A、B以P（1，1）為中點，且A、B不重合，得x1+x2=2，y1+y2=2，x1-x2≠0.可得：所以直線l的方程為：y-1=2（x-1），即y=2x-1.

注意：解決本題時，如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果.由此題可看到中點弦問題中判斷中點的位置非常重要.（1）若中點在圓錐曲線內，則所求的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則所求的弦可能不存在，必須對直線的存在性進行驗證.

二、通法歸納

解決“中點弦”問題的通法如下所示.

利用根與系數的關系：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用根與系數的關系和中點坐標公式建立等式求解.

點差法：若直線l與圓錐曲線C有兩個交點A、B，一般地，首先設出A（x1，y1）、B（x2，y2），代入曲線方程，通過作差，構造出x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2，從而建立中點坐標和斜率的關系.

三、應用探究

高考對“中點弦”問題的考查主要有以下幾種類型.

分析沈從文小說中水意象原型內涵的還有劉芷悅、羅偉文等人。劉芷悅認為，沈從文筆下的水意象具有“命運、悲劇、女性”等意蘊，與女神崇拜有密切的關系[11]。羅偉文指出，沈從文筆下的水意象作為原型，與“憂郁、自然、生命”具有密切的聯系，“水”之所以能對沈從文的創作產生影響，源于楚文化中的水神崇拜習俗[12]。羅偉文的研究亮點在于，他將《山海經·海外西經》和《梁書·東夷傳》記載的女子洗浴后懷孕的故事作為發掘沈從文小說中的水意象與生命內在聯系的依據。但是，在以孔子的“逝者如斯夫”作為水意象與“憂郁”的關聯依據和以老子的“上善若水”作為水意象與“自然”的關聯依據這兩個問題上，羅偉文的論述同樣略顯單薄。

1.求“中點弦”所在的曲線方程

由右焦點為F（3，0），得c=3，則a2=b2+c2=b2+9②.

由①②可知a2=18，b2=9.

評析：解決這類問題，注意結合“中點弦”的存在性，判斷所求目標是否存在，然后去進行另一步操作，否則易導致錯解.

解析：設點A（x1，y1）、B（x2，y2）.由題意得x1+x2=2，y1+即所以即

評析：解題的關鍵是中點坐標公式以及點差法的靈活運用.

3.求“中點弦”所在直線的方程

總之，運用圓錐曲線的“中點弦”的性質，不僅可以解決與弦的中點有關的問題，還可以用來解決相關范圍、最值問題，特別是在某些對稱性問題中，創造性地運用圓錐曲線的“中點弦”的性質來解題，常使人耳目一新.