五套高中數(shù)學課標教材例習題的比較研究
——以“函數(shù)的應用”為例

☉湖北省黃石市第一中學 楊瑞強

五套高中數(shù)學課標教材例習題的比較研究
——以“函數(shù)的應用”為例

☉湖北省黃石市第一中學 楊瑞強

按高中新課程標準編寫的高中數(shù)學教科書有人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版等五套，它們目前已經(jīng)被全國15個實驗區(qū)廣泛選擇使用.在數(shù)學教材中，例題和習題是重要的組成部分，它是師生進行有效教與學的重要載體，它的配置數(shù)量、類型、綜合難度等方面都直接影響著學生的學習質(zhì)量，因此有必要對高中數(shù)學教材中的例習題進行比較分析.本文以《數(shù)學1》中的第三章“函數(shù)的應用”的例習題為研究對象，對現(xiàn)行五套高中數(shù)學教材中例習題的配置數(shù)量、類型、綜合難度等方面進行比較研究，探悉高中數(shù)學新教材中例習題結(jié)構體系設置的一些特點，并對教材中例習題的編寫和修訂給出自己的思考和建議.

一、例習題數(shù)量的比較

高中課標對本章的內(nèi)容劃分為兩節(jié)，規(guī)定的課時數(shù)約9課時，其中“函數(shù)與方程”約3課時，“函數(shù)模型”約4課時，“小結(jié)與復習”約2課時.

表1：五套課標教材必修1“函數(shù)的應用”訓練系統(tǒng)的例習題數(shù)量統(tǒng)計比較

統(tǒng)計方法說明：按題號統(tǒng)計，其中明確指出小題號的分別按一題算.

經(jīng)表1統(tǒng)計表明：（1）五套課標教材的例題題量，除湘教版外，其他四種版本的差異并不大.人教A版共8個例題，人教B版共9個例題，北師大版共10個例題，湘教版共4個例題，蘇教版共9個例題.可見，多套課標教材的例題題量基本上都保持在平均每課時1道題左右.（2）五套課標教材的習題題量的差異卻十分明顯.從表1可以算得，平均每課時習題量分別為：人教A版約6.1題，人教B版約7.9題，北師大版約3.2題，湘教版約4.2題，蘇教版約5.0題.相對而言，人教B版的習題最多，北師大版的習題最少，最多與最少的題量相差4.7題/課時（前者是后者兩倍還多）.當然，人教B版的習題多的原因是課程劃分比較細致，它將此內(nèi)容穿插于兩章內(nèi)容中講解，分“函數(shù)應用（Ⅰ）”（第二章內(nèi)容）、“函數(shù)與方程”和“函數(shù)應用（Ⅱ）”（第三章內(nèi)容）；人教A版單獨成為一章內(nèi)容，習題也較多；而其他三種版本均在一章中的兩小節(jié)講解，習題自然較少.

二、習題類型的比較

為進一步說明的方便，我們可將五套課標教材中“函數(shù)的應用”的習題劃分為九類，分別為選擇題、填空題、計算題、簡答題、作圖題、證明題、應用題、探究題和利用計算機或計算器完成的題，其中簡答題包含的范圍比較廣：判斷、敘述、舉例、寫作等都歸入這一類.

表2：五套課標教材必修1“函數(shù)的應用”訓練系統(tǒng)習題九種類型統(tǒng)計對比

統(tǒng)計方法說明：按題號統(tǒng)計，其中明確指出小題號的分別按一題算.

經(jīng)表2統(tǒng)計對比表明：五套課標教材的習題各種題型的數(shù)量分布均有不同.應用題型含量都相對較大，其次計算題和探究題含量差異相對也較大，選擇題、填空題的含量都相對較小，作圖題人教A版和湘教版含量相對其他版本稍大，而簡答題人教B版和蘇教版含量相對其他版本稍大.

綜合以上方式統(tǒng)計對比表明，五套課標教材的題型在培養(yǎng)學生的能力方面各有側(cè)重點，以下通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)和具體例子說明習題類型的特點.

1.應用題型占絕對主導地位

一方面，高中數(shù)學課程應力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，促使學生逐漸形成和發(fā)展數(shù)學應用意識，提高實踐能力.另一方面，“函數(shù)的應用”重在生活實際中的應用，用函數(shù)模型解決實際問題.因此教材在習題編寫時，都注重了應用題題型的主導地位，在較強的生活背景中，讓學生感受函數(shù)的廣泛應用.從數(shù)量上看，人教A版15題，人教B版19題，北師大版12題，湘教版11題，蘇教版13題.從此類題目占總題量的百分比來看，人教A版占27.3%，人教B版占26.8%，北師大版占40.0%，湘教版占28.9%，蘇教版占28.9%.所有這些，充分體現(xiàn)了高中數(shù)學新課標對學生的要求“能初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活中的簡單問題”.

2.重視計算機（器）的計算與探究功能

在本章中，由于方程的近似解一般都涉及較復雜的計算，多處函數(shù)應用問題也涉及復雜的數(shù)據(jù)，因此，部分題目明確或間接要求借助計算機（器）來完成，體現(xiàn)信息技術與數(shù)學課程內(nèi)容整合的思想.據(jù)統(tǒng)計，教材必修1“函數(shù)的應用”中要求用計算機（器）完成的題目數(shù)量分別為：人教A版15題，人教B版11題，北師大版4題，湘教版4題，蘇教版4題.從此類題目占總題量的百分比來看：人教A版占27.3%，人教B版占15.5%，北師大版占13.3%，湘教版占10.5%，蘇教版占8.9%.無論是從絕對數(shù)量，還是從題目所占總題量的百分比來看，都是人教A版的多一些.借助計算機（器），更有利于學生探索問題，減少煩瑣計算，特別是一些實際問題，為方便筆算，以往都是經(jīng)過人為的簡化，而現(xiàn)在借助信息技術可以較容易解決.

3.突出研究性與開放性，激發(fā)學生的學習興趣

新課程主張，通過對問題的探究，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并在此過程中養(yǎng)成主動思考、積極探索的習慣.從探究型題目所占總題量的百分比來看：人教A版占12.7%，人教B版占2.8%，北師大版占6.7%，湘教版占15.8%，蘇教版占6.7%.存在型、操作型、開放型等探究性題型在五套課標教材中各有體現(xiàn).相比而言，人教A版和湘教版對探究型題目更重視一些.部分題目答案不唯一，有助于學生自己發(fā)揮.如人教A版第106頁練習第1題：“根據(jù)所求函數(shù)的圖像，對這個公司的經(jīng)濟效益做出簡要分析”，人教A版第107頁習題3.2第5題：“分析這位游客的決定是否太冒險”，蘇教版第95頁習題2.6第5題：“估計施肥量為40kg時水稻的產(chǎn)量”，第6題“請你預測今年7，8兩個月的月利潤”等.要求學生自己“分析”、“估計”、“預測”來解決問題，也是新教材的一大亮點.

4.受制于本章內(nèi)容特點，證明題相對偏少

證明題也稱論證題，其基本形態(tài)是：給出一定的假設條件或已知條件，要求學生根據(jù)數(shù)學的公理化體系，運用已知的公理、公設、法則、定理和公式等熟悉的知識與方法，合乎邏輯地推導和斷定試題中指定的結(jié)論.本章在證明題的設置上，人教A版占0%，人教B版占1.4%，北師大版占3.3%，湘教版占2.6%，蘇教版占6.7%.相比其他章節(jié)內(nèi)容，五套課標教材在本章中的證明型習題的設置相對偏少了一些.即便如此，五套課標教材所設置的極少量證明題也主要是集中在“函數(shù)的零點”的有關證明上.事實表明，證明題相對偏少與本章內(nèi)容特點有著極大的關系.

三、訓練系統(tǒng)的難度模型

本文下面擬運用鮑建生教授在其博士論文《中英兩國初中數(shù)學課程綜合難度的比較研究》中建立的數(shù)學題綜合難度模型，對五套課標教材《數(shù)學1》中“函數(shù)的應用”的習題（包括練習題、例題和復習參考題）進行難度分析.

表3：訓練系統(tǒng)難度因素和等級水平的量化指標

量化指標說明：以上每個指標從上往下分別權重賦值為1，2，3，4.

下面表4、表5是五個難度因素的量化指標統(tǒng)計.

表4：五套課標教材必修1“函數(shù)的應用”訓練系統(tǒng)的例題難度量化指標

由統(tǒng)計結(jié)果表明，人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版五套教材的例題難度量化指標為：（1）知識量的加權平均分別為2.38、2.11、2.00、2.00、2.11，人教A版的含量較其他版本稍大，北師大版和湘教版含量較其他版本稍小；（2）要求量的加權平均分別為2.88、2.67、2.80、2.25、2.56，人教A版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍小；（3）背景量的加權平均分別為2.50、2.67、2.50、1.50、1.89，人教B版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍小；（4）運算量加權平均分別為2.50、2.44、2.40、2.25、2.11，人教A版的含量較其他版本稍大，蘇教版的含量較其他版本稍小；（5）推理量加權平均分別為2.75、2.44、2.80、2.50、2.67，北師大版的含量較其他版本稍大，人教B版的含量較其他版本稍小.

表5：五套課標教材必修1“函數(shù)的應用”訓練系統(tǒng)的習題難度量化指標

由統(tǒng)計結(jié)果表明，人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版五套教材的習題難度量化指標為：（1）知識量的加權平均分別為2.35、2.11、2.03、1.97、2.02，人教A版的含量較其他版本稍大；（2）要求量的加權平均分別為2.36、2.25、2.30、2.37、2.31，各版本的含量基本持平；（3）背景量的加權平均分別為2.04、1.89、1.90、1.82、2.07，蘇教版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍小；（4）運算量加權平均分別為2.16、220、2.17、2.16、2.13，各版本的含量基本持平；（5）推理量加權平均分別為2.20、2.10、2.20、2.18、2.18，人教B版的含量較其他版本稍小，其他各版本的含量基本持平.

表6：五套課標教材必修1“函數(shù)的應用”訓練系統(tǒng)的綜合難度比較

說明：確定每個訓練系統(tǒng)的綜合難度，主要從例題難度和習題難度兩個方面進行考慮，例題和習題的知識量、要求量、背景量、推理量和運算量五個難度因素的權重，通過層次分析法依次確定為0.25，0.20，0.10，0.20，0.25.

四、研究分析結(jié)果

主要根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照五個難度因素分別進行比較，再利用綜合難度模型進行整體的分析，得出比較結(jié)論，并從相同點和不同點兩個角度給出相應的定性結(jié)論.

1.相同點

（1）習題難度量化五個指標.

知識量方面：基本上以一個或兩個知識點為主.

要求量方面：基本上以理解、運用和要求為主，且五種版本基本持平.

背景量方面：背景比較單一，以公共常識為主，涉及個人生活的背景較少.

運算量方面：以數(shù)字運算為主，且涉及利用信息技術輔助計算的題目較多.

推理量方面：基本上以單一推理為主，且五種版本基本持平.

（2）綜合難度模型的整體分析.

①五套課標教材中的知識量、要求量、背景量、推理量和運算量五個方面，例題基本大于習題（除個別版本基本持平外）.

②五套課標教材中例題的難度比習題的難度大0.30左右（除湘教版基本持平外）.

③五套課標教材中的例習題的綜合難度基本持平（人教A版稍高）.

2.不同點

（1）習題難度量化五個指標.

知識量方面：人教A版明顯高于其他版本，湘教版明顯低于其他版本.

要求量方面：五種版本在探究性題目數(shù)量上差異較大，人教A版7題，北師大版2題.

背景量方面：蘇教版和人教A版背景類型較其他版本豐富，且含量相對也較高.

運算量方面：涉及簡單符號運算的差異較大，需利用信息技術輔助計算的題目數(shù)量也有所不同.

推理量方面：人教A版和北師大版的推理量稍大，且涉及一定數(shù)量的簡單推理和復雜推理.

（2）綜合難度模型的整體分析.

①五套課標教材中例題的難度差異較大，依次為2.61、2.43、2.49、2.18、2.32，五套課標教材中例題的難度從大到小依次是人教A版、北師大版、人教B版、蘇教版、湘教版.

②五套課標教材中習題的難度差異甚小，依次為2.25、2.13、2.14、2.13、2.15，五套課標教材中習題的難度從大到小依次是人教A版、蘇教版、北師大版、人教B版、湘教版.

③五套課標教材中例題與習題的綜合難度差異較大，分別為2.43、2.28、2.32、2.15、2.23，五套課標教材中例題與習題的綜合難度從大到小依次是人教A版、北師大版、人教B版、蘇教版、湘教版.

五、教材修訂建議

主要根據(jù)上述研究結(jié)論，本人對人教A版高中數(shù)學課標教材訓練系統(tǒng)的修訂提出幾點切實可行和具有參考價值的建議.

1.關于例習題配置數(shù)量方面

例習題是教材的重要組成部分，在培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和提高數(shù)學素養(yǎng)方面起著舉足輕重的作用.關于例習題數(shù)量方面，事實上，例習題的多與少，僅是教材中例習題研究的表面現(xiàn)象，而深層次的是例習題適度的研究，這取決于知識內(nèi)容的多少和要達到的程度，也就是課程標準的內(nèi)容要求.科學的例習題量的確定，應從理論研究到實踐中教師的經(jīng)驗再到學生成績的反饋進行反復的試驗，是需要專家和學者共同的努力.

2.關于例習題的類型設置方面

新教材增加了少量的選擇題和填空題（這一點在本章中的體現(xiàn)不明顯，它與本章的內(nèi)容特點有關），同時，新教材打破了在常規(guī)數(shù)學中僅有傳統(tǒng)題型（這里指的是作圖題、證明題、計算題和簡答題），還增設了探究題和信息技術題，探究題不僅激發(fā)了學生的數(shù)學學習興趣，還鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣；信息技術題借助計算機（器），更有利于學生探索問題，減少了煩瑣的計算.

3.關于例習題難度方面

通過對例習題的難度對比可知，除去計算量指標之外，其他四項難度指標，人教A版教材都最高，主要體現(xiàn)在知識量大、探究成分多、知識背景豐富等方面，很多教師反映部分例題和習題設置過難.知識量大，對學生的綜合能力要求自然就高；探究成分過多，勢必造成課時不足，眾多教師反映按時完成教學任務存在困難.如教材第97頁的例2，解答繁長，計算量大，達不到使學生對不同增長的函數(shù)模型的體驗；第107頁的習題A組第1題、習題B組第1題等難度過大.例習題配置還需優(yōu)化，建議刪去習題中難度過大、探究過程復雜的題目，適當增加中檔題，考慮到與高考題的搭配，是否在一冊書末增加一個復習與提高專欄供老師和學有余力的學生選用，不以習題形式出現(xiàn)，也不作統(tǒng)一要求.

4.關于信息技術要求方面

雖然信息技術的使用是社會發(fā)展的必然之路，但是必須考慮到信息技術受條件制約嚴重的問題.人教A版教材在編寫上大量使用計算機（本章直接或間接需要使用計算機（器）的題目占本章總題量的百分比為27.3%，明顯高于其他版本教材），對信息技術的要求非常高，但是受當前我國客觀條件的限制，有的學校很難做到使用現(xiàn)代化信息技術解決問題.學生不能使用計算機作函數(shù)的圖像，達不到要求的教學效果.另外，信息技術在課堂上可以使用，但高考數(shù)學能否使用？人教A版沒有考慮到地域的差異限制，還有待完善.建議教材在例習題編寫時注意地域差異，適量使用計算機，使用量不宜過多，不能過于復雜.

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