在“追問”中完善知識，于探究中感悟本質
——“直線與平面平行的判定”教學設計

☉江蘇省西亭高級中學 張彬

在“追問”中完善知識，于探究中感悟本質
——“直線與平面平行的判定”教學設計

☉江蘇省西亭高級中學 張彬

一、教材分析

“直線與平面平行”是普通高中課程標準實驗教科書蘇教版必修2第一章第二節的內容，是學習了點、線、面的關系以后進一步研究直線與平面平行的位置關系.線面平行的判定充分體現了線線平行和線面平行之間的轉化.按照新課標的設計理念，本節的教學設計淡化了幾何論證的要求，遵循“直觀感知，操作確認，思辨論證，度量計算”的認知過程展開，讓學生經歷“將空間問題平面化”的“降維”過程，體會化歸與轉化數學思想，培養學生的空間想象能力，發展學生的合情推理能力及一定的推理論證能力，為學生后繼學習面面平行的判定做好“知識、方法及技能”的準備.

二、教學目標

針對教材特點、大綱要求及學生實際，分別從知識、能力以及情感與態度三方面來確定本節課的教學目標，如下所示.

1.知識目標

（1）在創設問題情景中，使學生主動探究直線和平面平行的判定定理；

（2）能運用直線與平面平行的判定定理解決相關問題.

2.能力目標

（1）通過直觀感知、動手操作、抽象概括的數學化過程，自主建構直線與平面平行的判定定理；

（2）經歷運用判定定理的過程，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力；

（3）經歷“空間轉化為平面”“無限轉化為有限”等轉化過程，體會本節課的核心數學思想——化歸與轉化.

3.情感目標

（1）與學生一起體驗探索的樂趣，增強學生學習數學的興趣；

（2）通過創設情景，讓學生親身經歷數學研究的過程，體會數學的理性之美；

（3）展現“線線—線面”的聯系與轉化，滲透唯物主義觀點.

三、教學過程設計

活動1：創設情境，感知定理

小紅想在自己家門口安裝一個單杠鍛煉身體.請你幫忙設計一下，應該如何保證杠體與地面平行？

學生1：只要兩立柱豎直放在地面上且長度相等就可以保證杠體與地面平行.

追問1：若兩立柱豎直放在地面上但長度不相等，能否保證杠體與地面平行？

學生1：不能.這時杠體所在直線與地面相交.

（師利用課件，演示這兩種情形）

追問2：通過這個模型，我們能不能猜想出一個判定直線和平面平行的方法呢？

學生2：如果一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.

設計意圖：通過生活情境的展示，激發學生的學習興趣，同時也引出了本節課的主題，統攝全局.讓學生知道數學從生活中來，明確數學的價值所在，更加激發學生學習數學的熱情.

活動2：實踐研究，深化定理

動手實踐：若將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，觀察封面邊緣所在直線l與桌面所在的平面具有怎樣的位置關系.

學生：平行.

追問1：依據是什么？

學生：根據學生2猜出的線面平行的判定方法.

追問2：剛才學生2給出的判定方法是否具有普遍性呢？請同學們舉出現實生活中線面平行的實例.

學生3：跳高裁判要讓橫桿和地面平行.

學生4：教室里的燈管和天花板所在的平面平行.

學生5：建筑工人要讓樓梯的臺階與地面平行.

學生6：門轉動的過程中，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行.

歸納總結直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線和這個平面平行.

師：那么對這個定理，如果我們改變一下其中的條件，結果又會怎么樣呢？

追問4：一條直線l和平面α內一條直線m平行，那么直線l和平面α是否平行？

學生7：不一定，可舉反例：直線l可能在平面α內.

追問5：平面外一條直線l和已知直線m平行，那么直線l和平面α是否平行？

學生8：不一定，可舉反例：直線m可能不在平面α內.

追問6：平面外一條直線l和平面α內一條直線m不平行，那么直線l和平面α是否平行？

學生9：不一定平行，若直線l與直線m相交，則直線l和平面α肯定不平行；若直線l與平面α內其他直線平行，則直線l和平面α平行.

追問7：哪位同學根據剛才的分析說一下使用直線與平面平行的判定定理應該注意的問題？

學生10：應用這個條件必須滿足三個條件：直線l在平面α外，直線m在平面α內，直線l和直線m平行，三個條件缺一不可，關鍵是在平面α內找一條直線與直線l平行.

設計意圖：“沒有過程”=“沒有思想”，線面平行的判定定理的形成也必然會經歷這樣一個由雛形至完善的過程，所以這一環節的作用就是定理的完善和確認.本探究過程的設計完成兩個目的：一是由問題完成對線面平行的判定的確認，二是由問題引起學生思考，總結出線面平行需具備的條件，在探究中培養學生獲取知識的能力、邏輯思維能力及空間想象能力，不斷提高學生的幾何語言表達等能力.教育過程的規律表明，教師對學生的教育不是簡單的給予，不單是知識的傳授.智力的發展、能力的培養、思維品質的形成，都必須通過學生的積極思維運動才能實現.

活動3：思辨論證，應用定理

例1如圖1，已知E、F分別是三棱錐A-BCD的側棱AB、AD的中點，求證：EF∥平面BCD.

圖1

圖2

分析：設法在平面BCD外找一條直線與EF平行.由于EF是中位線，接下來的證明就很顯然了.

設計意圖：本題就是定理的最簡單的運用，讓學生熟悉定理，根據結論找出需要的線，而三角形的中位線是最常見的平行線的一種.

例2如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由.

設計意圖：考慮到學生處于初學階段，教師精心打造開放性、基礎性例題，引導學生找出線面平行的判定定理的三個條件，從而得出要證的結論，讓學生用自己的研究成果解決具體問題，感受知識的力量，體驗成功的喜悅，并轉化為學習的新動力.在師生互動中，把握學生個體思維暴露的過程，老師應及時激勵評價，解讀定理，進一步明確判定定理的三個條件，既突破了難點，又培養了學生嚴謹的邏輯推理能力.

活動4：交流體會，反思提升

師：通過這節課的學習，你有哪些收獲？

學生11：我的收獲：一是學會判定線面平行的另一種方法，不僅可以用定義法，更可以用操作性更強的線面平行的判定定理；二是體會了轉化思想在數學應用中的魅力，即證明線面平行轉化為證明線線平行.

設計意圖：通過體會和反思，引導學生從知識內容和思想方法兩個方面進行小結，既使學生清晰地認識本節課的知識結構，領會數學思想方法，完成知識構建；又培養學生自主反思的學習習慣，及時感悟如何學會合作，學會交流，學會評價，在體驗成功的愉悅的同時，使學生在知識、能力、情感三個維度得到提高，給下節的學習提供改進方向.

活動5：課后實踐，強化定理

課后作業略.

設計意圖：促使學生進一步掌握直線與平面平行的判定定理的應用，促使其有意識地應用.

四、評價與反思

本課例教學，以教師引導下的自主探究活動為載體，力爭從生活情境入手，以最貼近學生思維“最近發展區”的問題為支點，引導學生展開了對直線與平面平行的判定的研究，在追問中，注重對學習方法的指導、數學思想的滲透、數學思維的深化、思維能力的提升.

1.問題引導——構建有效課堂的基本途徑

問題是探究性教學的起點，問題的選擇或設計要難易得當，要讓學生處于“跳一跳，摘到桃”的狀態；問題還應具有發散性，即解決問題方法的多樣性和條件或結論的可變性，這一問題的解決能引發新的問題產生，形成“問題鏈”，有了問題學生就有了思考與討論的方向，從而能持續地驅動學生進行探究，激發思維，深化思維.

“直線與平面平行”既是后面學習面面平行的基礎，又是連接線線平行和面面平行的紐帶，在高中立體幾何中占有很重要的地位.因此在新授課階段，不能難，否則會打擊學生的積極性，教學問題的選擇要簡單，教學的重心就能落在讓學生建構起對線面平行的判定上來.本案例中的幾個問題正好貼近學生的“最近發展區”，起點低，由于問題難度小，全體學生可以展開自主探究，能夠經歷求知過程的體驗，再進一步通過追問，從中提煉概括出線面平行的判定定理，從對問題的追問中，形成“問題鏈”，而每個問題的提出，都會引起學生認知的沖突，引發探究，驅動思維發展.

2.理解學生——堅持以學生為中心

在數學教學中，要充分相信學生的能力，依靠學生，進而解放學生，發展學生.教師要充分預見學生在交流過程中可能會出現的問題，把握住教材的深淺，學生如果在交流過程中出現了大大超出教材難度本身的討論，應當及時地給其糾正，重點不清、概括性不強的地方，教師應當適時地進行歸納補充.老師只是起到了組織和點撥的作用.這樣學生的學習積極性就被充分地調動起來，其學習的潛力也會被充分地挖掘出來.學生在課堂上是快樂的，就會激發學生在學習上的積極性，提高學生的學習興趣，真正實現由“要我學”到“我要學”.

本節課中，從定理的形成，到定理的變式等，都是學生自己利用已有知識、方法、思想“同化”和“索引”出來的，教師僅為學生創設了可知識外化的情景，幫助他們完成這些知識意義的建構，體現了建構主義理論課堂教學的“首創、外化、自我反饋”等基本因素.通過實物的演示，從感性到理性，從具體到抽象，從個體到整體，符合學生的認知規律，這就遵循了學生的認知和知識、技能形成、發展的規律.