問題引導(dǎo)思維，探究貫穿過程
——“點(diǎn)到直線的距離”教學(xué)設(shè)計及教學(xué)反思

☉江蘇省啟東市呂四中學(xué) 徐磊

問題引導(dǎo)思維，探究貫穿過程
——“點(diǎn)到直線的距離”教學(xué)設(shè)計及教學(xué)反思

☉江蘇省啟東市呂四中學(xué) 徐磊

一、教材、學(xué)情分析

本節(jié)課是人教新課標(biāo)必修2第3章“3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”第2課時的內(nèi)容，是點(diǎn)與直線位置關(guān)系由定性認(rèn)識到定量分析的升華過程，是兩點(diǎn)間距離的深入研究，也是直線方程和坐標(biāo)法的一節(jié)應(yīng)用課，同時又為后續(xù)學(xué)習(xí)兩平行線間的距離、判定直線與圓的位置關(guān)系、求平面多邊形的面積、推導(dǎo)拋物線的方程等做準(zhǔn)備，承前啟后.

該堂課的教學(xué)是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、向量，以及直線方程的一般式、兩點(diǎn)間距離公式等相關(guān)知識的基礎(chǔ)上開展的.同時學(xué)生已經(jīng)具備了一定的探究經(jīng)驗(yàn)和解決問題的方法，可以借助已有知識，采用類比、化歸的思想方法完成本節(jié)學(xué)習(xí)任務(wù).

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

記憶點(diǎn)到直線的距離公式，會用公式解決具體問題；通過公式的推導(dǎo)過程體會由特殊到一般、類比、化歸的思想方法，形成知識的遷移能力.

2.過程與方法

問題是數(shù)學(xué)的核心，是學(xué)生學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，學(xué)習(xí)中學(xué)生總是“以問題為中心”的心理參與探究過程.本節(jié)以問題串的方式，引導(dǎo)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作探究、展示交流.

3.情感態(tài)度價值觀

通過推導(dǎo)公式所采用的不同方法，體會知識間的內(nèi)在聯(lián)系，感受類比、化歸思想方法在解決具體問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)新意識，在求異推導(dǎo)中感受成功與失敗的情感體驗(yàn).

三、教學(xué)過程設(shè)計

活動一：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)熱情

例1已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），試判斷四邊形ABCD的形狀.

追問：如何求此四邊形的面積？

設(shè)計意圖：按課改理念的要求，教師的作用在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提供現(xiàn)實(shí)而有吸引力的學(xué)習(xí)背景，激活學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理與交流等活動去“做數(shù)學(xué)”.學(xué)生通過判定出四邊形ABCD為平行四邊形后，為了求面積，則需求高，而高如何求解，正是本節(jié)課要解決的問題，由此激發(fā)了學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)驅(qū)力.

活動二：呈現(xiàn)題組，探究鋪墊

例2思考并解答下列問題：

（1）分別求點(diǎn)（4，5）到直線x=2和y=-2的距離.

追問1：將直線一般化，如何解決？

（2）求點(diǎn)（x0，y0）到直線Ax+C=0的距離.

（3）求點(diǎn)（x0，y0）到直線By+C=0的距離.

追問2：將直線更一般化，如何求解？

（4）求點(diǎn)M（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離.

設(shè)計意圖：遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由特殊到一般，問題（1）～（3）通過由具體數(shù)值的計算到抽象字母的運(yùn)算，降低了門檻，逐步提高研究的難度，有利于學(xué)生入手，樹立攻堅(jiān)克難的自信心.對于追問2的處理，學(xué)生先獨(dú)立思考，再組織小組交流，由組長組織本組成員討論各自解法，相互補(bǔ)充完善，最后推選出小組內(nèi)最優(yōu)解法代表小組進(jìn)行展示交流，講解解決問題的思路及具體解法.

活動三：不同視角，精彩探究

例3求點(diǎn)M（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離.

視角一：兩點(diǎn)間的距離公式.

生1：如圖1，過點(diǎn)P作PQ⊥l，求出垂線的方程，垂足Q的坐標(biāo)（x，y），然后代入兩點(diǎn)間的距離公式即可.

師：你會選擇這種方法嗎？你能準(zhǔn)確地求出正確答案嗎？

生2：這種方法思路清晰，但主要是字母運(yùn)算，運(yùn)算量大，我覺得慢慢求解應(yīng)該能算出來.

學(xué)生開始運(yùn)算，幾分鐘后，學(xué)生2展示其解題過程.

圖1

師：這種方法運(yùn)算量較大，但是它可以培養(yǎng)我們的運(yùn)算能力.但我們還要有不斷優(yōu)化的意識，上面的過程可以優(yōu)化嗎？

教師提示從整體入手，學(xué)生陷入了思考.幾分鐘后，部分學(xué)生豁然開朗.

生3：把方程Ax+By+C=0改為A（x-x0）+B（y-y0）= -（Ax0+By0+C），與方程B（x-x0）-A（y-y0）=0聯(lián)立，解得

師：很好！說明大家都愛動腦筋！

視角二：構(gòu)造直角三角形.

借助推導(dǎo)兩點(diǎn)間距離公式的方法，構(gòu)造直角三角形，通過等面積或三角形相似推導(dǎo).

師：此法在算法上雖優(yōu)于視角一，但計算量仍較大，引導(dǎo)學(xué)生能否利用解三角形的知識求解？學(xué)生分析出直線l的傾斜角已知，則∠PMQ已知.

視角三：直線的法向量.

由法向量的知識可知，直線PQ是直線l的法線，其方向向量為n=（A，B），類比空間向量中點(diǎn)到面的距離的求法可解決.

視角四：函數(shù)的最值——借助柯西不等式.

師：設(shè)點(diǎn)D（x，y）是直線l上的任意一點(diǎn)，則PD2=（xx0）2+（y-y0）2，從函數(shù)的角度思考，即求它的最小值.如何求解？

生7：利用Ax+By+C=0代人消元，把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，最小值可求.

也有學(xué)生根據(jù)前面的整體思想，由A（x-x0）+B（y-y0）整體代入，使得運(yùn)算得到了簡化.

生8：由柯西不等式知（A2+B2）（（x-x0）2+（y-y0）2）≥（A（x-x0）+B（y-y0））2=（Ax0+By0+C）2，其中等號成立的條件是即B（x-x0）-A（y-y0）=0.故不等式顯然可取等號，下略.

設(shè)計意圖：在推導(dǎo)公式中，事先不給學(xué)生任何提示，不加任何限制，充分相信學(xué)生，為學(xué)生提供活動的時空，使學(xué)習(xí)主動自主地構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在小組間的充分交流中得到相互啟發(fā)，不斷完善每個學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感受成功的喜悅和失敗的教訓(xùn)，領(lǐng)悟在求異推導(dǎo)公式過程中的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)發(fā)散思維能力和樂于探索的精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師在活動中是組織者、幫助者、調(diào)控者，并適時恰當(dāng)?shù)卦u價學(xué)生，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)參與課堂的熱情.

活動四：實(shí)踐運(yùn)用，深化認(rèn)識

例4求下列點(diǎn)到直線的距離：

設(shè)計意圖：本題組主要是熟練公式的運(yùn)用，有的是直線特殊，用公式的特例處理，如第（1）小題；有的是直接應(yīng)用公式，如第（2）小題；有的是要求學(xué)生注意公式的特點(diǎn)和準(zhǔn)確使用公式，如第（3）、（4）小題.此題組的訓(xùn)練是幫助學(xué)生鞏固記憶公式，同時在應(yīng)用公式時需注意把直線方程化成一般式.

例5（1）已知點(diǎn)A（2，1）到直線l：y=kx+2的距離為2，求k的值.

（3）已知點(diǎn)P（x，y）在直線l：2x+3y-6=0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|最小時點(diǎn)P的坐標(biāo).

（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1，2）的距離為1，且與點(diǎn)B（3，1）的距離為2的直線有多少條？

（5）求兩平行線l1：x-2y+1=0與l2：x-2y-1=0的距離.

設(shè)計意圖：本題組習(xí)題體現(xiàn)的是公式的逆用、變形用.一方面鞏固所學(xué)的公式，另一方面檢測學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力.尤其第（5）小題，為推導(dǎo)兩平行線間的距離做好鋪墊.

活動五：總結(jié)規(guī)律，提升能力

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道點(diǎn)到直線的距離公式了嗎？它的結(jié)構(gòu)特征是什么？使用這個公式的前提條件是什么？這個公式用了哪些方法證明？你覺得哪種方法最簡潔？你從中得到什么啟發(fā)？

設(shè)計意圖：明確本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過分析公式中分子分母的特征，幫助學(xué)生準(zhǔn)確、快速記憶公式，通過明確公式的使用條件（直線方程應(yīng)化成一般式），培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，另外通過公式的求異推導(dǎo)，提醒學(xué)生在復(fù)雜的運(yùn)算中，要注意設(shè)計和選擇算法，提高解題的效率和準(zhǔn)確性.

四、教學(xué)反思

1.問題引領(lǐng)課堂，加強(qiáng)學(xué)生自主探究

有效的教學(xué)取決于有效的學(xué)習(xí)，對教師教學(xué)效果的評價應(yīng)著眼于學(xué)生獲得了什么，除了知識的獲取外，更要注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)方法的變化.從這個意義上講，教師不應(yīng)該是知識的傳授者，而應(yīng)該成為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境是引導(dǎo)學(xué)生積極思考的手段之一，高明的教師往往善于提出有價值的問題，引發(fā)學(xué)生思考、提問.本節(jié)課，在問題的引領(lǐng)下，學(xué)生成為學(xué)習(xí)活動的主體，探究出從不同視角證明點(diǎn)到直線的距離公式.有價值的問題要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，要從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”提出.問題的解決既不能讓學(xué)生“唾手可得”，也不能“遙不可及”，而是讓他們在解決問題的過程中達(dá)到一種“憤、悱”狀態(tài)，能夠“跳一跳，夠得著”，體會學(xué)習(xí)的快樂，增強(qiáng)自信心.

2.數(shù)學(xué)課堂要關(guān)注學(xué)生的個人體驗(yàn)

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式中，教師在規(guī)定的時間內(nèi)完成事先準(zhǔn)備的內(nèi)容，注重了知識的傳輸，對作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生關(guān)注不夠，因而教學(xué)效率不高，學(xué)習(xí)的效果也不好.適合學(xué)生的教學(xué)才是有效的教學(xué)，關(guān)注學(xué)生成為有效教學(xué)的前提.課前，要關(guān)注新舊知識的聯(lián)系，學(xué)生是否具備學(xué)習(xí)新知識的學(xué)習(xí)條件，是否具備了學(xué)習(xí)新知的“心向”；課上，要時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，包括學(xué)習(xí)的反應(yīng)、情緒等，對出現(xiàn)的問題及時處理，調(diào)整自己的教學(xué)；課后，也要關(guān)注學(xué)生的反饋，包括作業(yè)、學(xué)生問題等.教學(xué)過程中，只有對學(xué)生全程關(guān)注，才能有針對性地設(shè)計教學(xué)，才是高效的課堂，才會是高質(zhì)量的教學(xué).