期望效用最大限制下保險公司的最優策略

劉潔　初元紅

摘 要：假定保險公司既可以投資在風險資產上，同時又允許混合再保險。用經典的Cramér-Lundberg模型來近似保險公司的盈余過程，考慮在期望效用最大限制下保險公司的最優投資和再保策略滿足的方程，證明了解的存在性和最優性。

關鍵詞：期望效用；混合再保；投資

中圖分類號：F840 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）09-0020-03

一、引言

隨機控制理論作為解決動態問題的強有力的工具，在保險方面應用廣泛。Hipp and Plum[1]考慮的是經典的Cramér-Lundberg保險公司盈余過程模型，保險公司允許投資于股票市場，風險資產價格過程服從幾何布朗運動，在破產概率最小限制下的最優投資策略問題。證明了解的存在性和最優性，在理賠分布服從指數分布時給出了精確解，但沒考慮無風險資產和再保險；在無投資時，Schmidli[2]研究了經典Cramér-Lundberg模型中在破產概率最小限制下的最優比例再保險策略；Schmidli[3]考慮的是在經典Cramér-Lundberg模型下保險公司既允許投資又允許比例再保險的情況，但只是證明了在破產概率最小時對應HJB方程解的存在性和最優性；Michael，T.，Charlotte，M.[4]。考慮了保險公司的風險過程為跳擴散模型時，保險公司允許投資在風險資產時和無風險資產時在終值期望效用最大限制下保險公司的最優投資策略和此時對應的目標函數值，同時給出了破產概率最小時對應的HJB方程但沒考慮再保險的情況；Irgend，C，and Paulsen，J.[5]，考慮了盈余過程為經典Cramér-Lundberg模型時保險公司允許投資在風險資產和無風險資產，且為了降低風險，允許混合再保時在終值期望效用最大限制下得最優投資和再保問題，而本文要考慮的保險公司允許投資于股票市場且股票的價格過程服從幾何布朗運動，同時為了降低風險允許混合再保，即：保險公司允許一部分比例再保，剩下的風險用買超額再保來降低。在期望效用最大限制下考慮保險公司的最優投資和混合再保策略。

二、模型假設

假設以下討論是在一個完備概率空間（Ω，F，Ft≤T，P）上，其中（Ft）t≤T代表由布朗運動和泊松跳產生的信息流，是T時刻前全部市場信息的集合。保險公司的盈余過程為Yt=x+ct-Zi，其中c為保費率，在這里采用期望值原則來計算。x為初始資本，N（t）為代表理賠次數的泊松過程，強度為λ，μ1=EZi。

保險公司允許連續比例再保，剩下的一部分風險用買超額再保險來承擔——混合再保，此時帶混合再保的保險公司盈余過程為：Yt=[ac+（1-a）cq-qXLλρa（D）]ds-min{aZi，D}，其中a為比例再保，是關于財富過程Xt的函數，是可料的（即at-1關于Ft-1可測），D為超額再保，（1-a）cq為保險公司支付給再保險公司的一部分委托費，q是個百分比，qXL為負載因子且qXL>1，ρa（D）=E[（aZi-D）+]。

若保險公司允許投資在風險資產，投資錢數為A（t），{At，t≥0}是自融資的適應過程（即交易前后沒有資金的注入和撤出，關于Ft可測）且對于所有T<∞滿足[At]2dt<∞，a.e.且風險資產的價格過程滿足：

dS（t）=S（t）（μdt+σdW（t））

假設無風險資產價格為1，則保險公司此時對應的盈余過程為：

dX（t）=A（t）+[ac+（1-a）cq-qXLλρa（D）]dt-dmin{aZi，D}

因此，對應的無窮小生成算子為：

Lg（t，x）=[μAt+ac+（1-a）cq-λqXLλρa（D）]gx+A2σ2gxx+λE{g[x-min{aZi，D）]-g（x）}

假設效用函數取為指數效用U（x）=e-γx

，其中γ>0為風險厭惡指數。

研究目標是：E[e-γX（t）

]

定理：若Xt如上所給，令k1（a，D）=acγ+（1-a）qcγ-γqXLλρa（D）-λ（E[eγmin{aZi，D}

]-1），k2（A）=γA-A2σ2γ2，μ=EZi

（1）若（1-qp）c

（2）若（1-qp）c>qXLλμ，則策略π*=（a*，D*，A*）是所有策略中最優的，且對應的最大期望效用值為：V（t，x）=-e-η*（T-t）-γx

，其中η*=k1（a*，D*）+k2（A*）。

（3）（1-qp）c=qXLλμ，則存在最優策略當且僅當qXL≤1。

證明：由分部積分求出E[eγmin{aZi，D}

]，從而對D求偏導得：k1（a，D）=γλF1（）（qXL-eγD

）。

求出F1（x）=1-F1（x）的左導數和右導數，很容易得出F1（x）在有跳，因此D*=（lnqXL）+。而且可以得到D*關于γ是遞減的，關于qXL是遞減的。

若qXL≤1，k1（a，D*）=k1（a，0），是凹的且最大值在a*=處取得。要使a存在就必須滿足（1-qp）c

假設qXL>1，F1（x）=f（y）dy+cp，iI

[xp，i，∞）（x），其中xp，i是離散的，i為數學狀態，即：對于所有的i存在εi>0使得xp，i?（x

p，i-εi，x

p，i+εi），因此我們得到：k1（a，D）=qpcγ+（1-qp）acγ-γqXLaλμ-aγλ（eγax-qXL）F1（x）dx。

因為eγD*

=qXLk1（a，D*）關于a是可微的，故有：k1（a，D*）=（1-qp）cγ-γλE[eγmin{aZ，D*}

]。

容易看出k1（a，D*）是遞減的，因此k1（a，D*）在a處是凹的而且最優策略a*存在當且僅當（1-qp）c

顯然k2是凹的，且由k2'（A）=γ（μ-Aσ2γ）=0得A*=，尤其有k2'（0）=γμ>0，故A*存在且有限。（1）得證。

令（x）=-U（x），即問題轉化為最小化（x），對應的HJB方程為：

（Vt（t，x）+[μAt+ac+（1-a）cq-qXLλρa（D）]Vx+σ2A2Vxx+

λE{V[x-min（aZ，D）]-V（x）}=0

邊界條件為：V（T，x）=e-γx

假設HJB方程的解具有形式：V（t，x）=h3（t）e-γx則求出Vt代入HJB方程得：

+（-k1（a，D）-k2（A））=-k1（a，D）-k2（A）=0

利用邊界條件h3（t）=1，上面HJB方程的解為：V（t，x）=

e-η*（T-t）

e-γx。

由It公式得：dV（t，Xt）=V（t，Xt）dZt。其中Zt=hsds-

γσAdWt+（eγmin{aZ，D} -1）。

而h3=-η*-ascP-（1-as）qpcγ-qXLλρa（D）+A2σ2γ2-γμA

策略π*=（A*，a*，D*）的最優性用鞅最優原則可證。（2）得證。

當（1-qp）c=qXLλμ時，k1（a，D*）=λ（E[emin{aZi，D}

]-1）=λ（qXL-

（γeγx-1））F1（）dx。

若qXL≤1，D*=0，那么A*=0是最優的。若qXL≥1，k1（a，D*）在a是遞增的；因此不存在有限的最優的A*，但是由單調收斂定理，當A→∞時，k1（a，D*）→λ（qXL-1-eqXL

）。

三、結束語

本文考慮的是保險公司風險過程用幾何布朗運動來近似時，期望效用最大限制下保險公司的最優策略，還可以考慮風險過程為跳擴散過程時在其他限制條件下保險公司的最優策略選擇問題。