也談向量法解決立體幾何問題

●陳重陽 (溫州中學 浙江溫州 325000)

也談向量法解決立體幾何問題

●陳重陽 (溫州中學 浙江溫州 325000)

向量有了運算才顯示出它應用的威力，綜觀立體幾何高考試題和課堂教學，用向量法解決立體幾何問題，一般采用“坐標法”，即通過建系，用坐標表示向量進行代數運算.絕大多數師生對坐標法是輕車熟路并能熟練運用，該現象顯示了坐標法在解決立體幾何問題中的普適性.但是，坐標法存在坐標容易算錯或難算的缺點.過度強調坐標法，只會把向量法解決立體幾何問題的教學逼進“只見樹木不見森林”的尷尬境地，包括向量線性運算及數量積等非坐標運算被邊緣化，甚至被忽視.

筆者認為，強調坐標法本無可厚非，但是也應重視以下2個薄弱方面：一是建系雖易，算坐標不易，有哪些方法可突破；二是建系不易，向量法有哪些非坐標運算.

1 補作幾何模型，不言自明

坐標法首先要建系求坐標，寫某點坐標時,一般會利用該點到3個坐標平面的距離,再考慮符號.

在這個過程中，我們的腦海中會無形運用一個長方體的模型去寫坐標.在很多立體幾何圖形中，通過割補方法可以還原為一個長方體模型，在長方體中寫出某點坐標就顯得容易多了.

例1 如圖1，在多面體E-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足為E，AE=3，CE=9．

1)求證：平面ABCD⊥平面ADE；

2)求二面角C-BD-E的平面角的余弦值．

(2011年浙江省溫州市第2次適應性測試試題)

圖1 圖2

困境 閱卷后發現，大多數學生以E或C為坐標原點建立空間直角坐標系，點A,C,D,E的坐標都容易寫出，但要寫出點B的坐標卻束手無策.

分析 1)略.

2)設正方形ABCD的邊長為a，在Rt△CDE中，

DE2=CE2-CD2=81-a2，

在Rt△ADE中，

DE2=AD2-AE2=a2-9.

評注 本例中，幾何體補成長方體的方法很奏效，體現了割補思想在解決立體幾何中的作用.當然，如果以D為坐標原點、以DC,DE分別為x,y軸建系，也可輕易寫出各頂點的坐標.因此，只要我們留心觀察，縝密分析，熟悉由長方體割得的常見幾何體模型，就會收獲意想不到的解題效果.

2 巧用垂直平行，事半功倍

垂直與平行作為2種特殊的空間位置關系，是立體幾何考查的重點.若能用好垂直與平行條件，則求某點的坐標會有事半功倍的效果.

例2 如圖3，在多面體B-ACDE中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，四邊形ACDE為等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，AC=2ED=4，平面BCD⊥平面ABE.

1)求證:AB⊥平面BCD；

2)試求二面角C-BD-E的大小.

(2012年浙江省溫州市第2次適應性測試)

圖3 圖4

困境 本題當年的全市平均分不到3分(滿分為14分).筆者考后訪談學生，他們認為：“本例中圖形‘怪異’，建系不易，點D,E的坐標難求，沒想到立體幾何題目也這么難！”坐標法解決本例的困難是：1)如何建系；2)點D,E坐標怎么求.多數學生對此束手無策，究其原因，是沒有充分運用好題中的垂直條件.

分析 1)略.

評注 本例中利用AB⊥平面BCD建系，利用FA,FC的垂直及長度相等求點F的坐標是解決問題的關鍵.由于坐標法教學中很少涉及類似問題，使得本題的得分如此之低，這應引起重視.

1)略；

2)求平面A1B1C與平面BB1C1C所成銳角的余弦值.

(2012年江西省數學高考理科試題)

圖5

困境 如圖5建立坐標系，求平面A1B1C與面BB1C1C所成角的余弦值，必需要求2個平面的法向量.若通過求點B1的坐標，則顯得麻煩，能否回避求點B1的坐標？

評注 因為A1B1AB，所以可用替代，這樣就繞開了求點B1的坐標，體現了向量法解立體幾何問題的優越性和靈活性.當然，如果利用也可以求出點B1的坐標，但是對本題而言沒有必要.

3 活用向量回路，柳暗花明

向量回路是指從一點出發，通過一條封閉的折線路徑又回到原點的那條通路.利用向量回路，通過平方、數量積等向量的非坐標運算來解決一些立體幾何問題,可以彌補坐標法的不足，為解決難建系的立體幾何題目創造了新的機會.

圖6

( )

A．存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置,3組直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數學高考理科試題)

困境 運動過程中判斷2條直線在某個位置處是否垂直，建立坐標系然后用坐標法解決是有難度的.

分析 由題意，

圖7

例5 如圖7，在三棱錐S-ABC中，△SAC為AC=1的正三角形，△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，對棱SA,BC所成角為60°.

1)求SB的長度；

2)求二面角S-AC-B的余弦值.

(2009年海南省數學高考理科試題改編)

從而

評注 本題利用向量回路法求解簡捷明了，學生易于接受，對發展學生的思維也有較好作用.因此，在向量法解決立體幾何問題的教學中，我們不能一味地追求坐標法，還要關注向量線性運算和數量積等多種運算，特別要加強針對向量回路法的訓練，讓學生體會和理解：何時用向量回路法，選擇什么樣的回路最好，等等.

4 依賴基底思想，峰回路轉

基本定理是向量用基底表示的理論基礎，基底思想是坐標法的本源，它讓“向量坐標化”成為一種可能，進而讓向量的代數運算真正成為一種簡單的數字運算.

圖8

例6 如圖8，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，求:

1)異面直線AB1與BC1所成角的余弦值(原題是填空題)；

2)求直線AB1與平面AA1C1C所成角的正弦值(此小題為筆者增加).

(2012年全國數學高考大綱卷理科試題改編)

困境 由于本題中的幾何體是斜棱柱，用幾何綜合法和向量坐標法進行求解都有一定難度.注意到棱AA1與AB，AA1與AC，AB與AC的夾角都是60°且長度相等，它們可作為空間向量的一組基底.

|a|=|b|=|c|=1，

a2-b2+a·c+b·c=1,

2)設平面AA1C1C的法向量為n=xa+yb+zc(其中x,y,z∈R)，則

從而

取x=1,y=-3，z=1，即n=a-3b+c，從而直線AB1與平面AA1C1C所成角的正弦值為

評注 求空間角必定要用到向量的數量積運算，本例中依賴向量基底思想，關鍵是如何求一個平面的法向量.“設平面AA1C1C的法向量為n=xa+yb+zc，利用n·a=n·c=0求得x,y,z的值”是向量基本定理和數量積的直接應用，它的算法更具有一般性.

5 結束語

回讀教材，無論是平面向量還是空間向量都源起于物理問題的研究，最初的向量模型是從物理中的位移、力、速度等概念中抽象出來的.事實上，物理中研究位移、力、速度時，不會有意說明它們是平面的還是空間的，更不會關注其坐標是什么.向量的坐標表示作為向量代數化的手段，從運算的角度看是把向量運算轉變為一種簡捷明了的數字運算，向量的基本定理是坐標法的理論基礎，這就意味著向量回路法和基底思想等非坐標運算及線性運算是向量教學的起點、基礎和本質.在向量法解決立體幾何問題的教學中，教師應該有這樣的理解，并把這種理解傳遞給學生.

章建躍博士指出：“解題教學要強調基本概念所反映的思想方法這一根本大法的應用.要讓學生養成‘回到概念去’思考和解決問題的習慣.”在立體幾何教學中，不僅要兼顧幾何綜合法和向量坐標法，當用向量坐標法比較困難時，更應重視非坐標運算的向量方法，這樣做不僅能完善學生的知識結構，還能錘煉和優化學生的思維品質，才能真正實現“體會向量方法在研究幾何問題中的作用”這一課程目標.

[1] 陳碧珍.向量“回路法”解立體幾何問題[J].中小學數學:高中,2013(6):53-55.