基于學(xué)生視角設(shè)計(jì)教學(xué) 實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)有效突破
——有感于一節(jié)高三數(shù)列專題復(fù)習(xí)課

●劉美良 (魯迅中學(xué)柯橋校區(qū) 浙江紹興 312000)

基于學(xué)生視角設(shè)計(jì)教學(xué) 實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)有效突破
——有感于一節(jié)高三數(shù)列專題復(fù)習(xí)課

●劉美良 (魯迅中學(xué)柯橋校區(qū) 浙江紹興 312000)

道法自然，是道家思想的一個(gè)基本觀點(diǎn)，也是平常為人處事的一個(gè)基本原則.在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中更應(yīng)如此，即遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡力站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)教學(xué)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)、方法在學(xué)生的心里自然地生發(fā)出來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)的有效突破.

1 問題背景

有關(guān)數(shù)列和式不等式的證明已成為高考、?？济}的新熱點(diǎn).對(duì)于數(shù)列和式不等式的證明，高三學(xué)生普遍感覺束手無(wú)策，無(wú)章可循.為此，備課組組織了一次集體備課，集中研討有關(guān)數(shù)列和式不等式的證明問題，并由同組的一位年青教師執(zhí)教，公開展示了一節(jié)“探尋一類數(shù)列和式不等式的求證策略”專題復(fù)習(xí)課.整節(jié)課的設(shè)計(jì)基于學(xué)生視角，層次清晰，教學(xué)自然.筆者感觸頗深，特整理成文與同行共賞.

2 教學(xué)片斷(簡(jiǎn)錄)

師：2015年浙江省數(shù)學(xué)高考對(duì)數(shù)列這部分內(nèi)容的考查難度明顯提升，這從樣卷和各地模考試題中已見端倪，尤其是數(shù)列中一類和式不等式的放縮問題，更是大家“心中的痛”(學(xué)生會(huì)心地笑).今天我們一起直面這類問題，探尋其求證的方法(展示課題并出示問題).

問題 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：an+Sn=1,n∈N*.

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

師：請(qǐng)同學(xué)思考并求出通項(xiàng)an.

(稍后有學(xué)生發(fā)言.)

師：考慮很全面，退位作差時(shí)初始檢驗(yàn)不能忘記.第2)小題數(shù)列{cn}的和能求嗎？

師：通過減1將分式放大，并轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列——等比數(shù)列求和，很自然、很合理！

師：是2類基本數(shù)列：等差、等比數(shù)列的求和嗎？若不是，怎么轉(zhuǎn)化？請(qǐng)大家思考、討論，并發(fā)表個(gè)人想法.

(不一會(huì)兒有學(xué)生示意.)

生：應(yīng)該轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.因?yàn)?/p>

所以Tn=c1+c2+…+cn<

師：這位同學(xué)的直覺思維很強(qiáng)，有相當(dāng)?shù)墓αΓ〉@一步對(duì)部分同學(xué)來(lái)說(shuō)有點(diǎn)突兀，老師想聽聽其他同學(xué)的想法？

師：這是運(yùn)用什么原理或性質(zhì)?

師：根據(jù)糖水濃度不等式，將原式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，進(jìn)而求和，結(jié)論更精準(zhǔn).這說(shuō)明:放縮要有“度”哦！還有其他想法嗎？

師：借用迭代法轉(zhuǎn)化為遞推模型達(dá)到放縮.請(qǐng)大家談?wù)勔陨?種方法的異同之處并總結(jié).

生：共同點(diǎn)是將數(shù)列{cn}通過放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的模型；不同的是轉(zhuǎn)化的方式不同，并且2個(gè)等比數(shù)列的公比、首項(xiàng)不同.

師：能對(duì)上述數(shù)列{cn}模型進(jìn)行一般化推廣嗎？請(qǐng)大家討論，總結(jié)放縮方法.

(學(xué)生交流，師生共同總結(jié)、完善.)

2)構(gòu)造遞推數(shù)列:

從而

①當(dāng)n≥2時(shí)，pan

師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的想法.以上的模型還能用嗎？

(經(jīng)思考和對(duì)比后,學(xué)生發(fā)言.)

師：哪位同學(xué)能把首項(xiàng)搞定？

生(脫口而出)：那就待定唄！

師：怎么待定呢？請(qǐng)繼續(xù)思考，討論！

生：應(yīng)該是恒成立問題.

(學(xué)生一下子豁然開朗，情緒高漲！)

生：那就分離變量吧！

生：當(dāng)n≥1或n≥2時(shí)都有可能吧？

經(jīng)過分組討論，整理形成以下的解法：

f(n)max=f(1)=2,

于是λ可取2.即當(dāng)n≥1時(shí),有

因此Tn=c1+c2+…+cn<

因此Tn=c1+c2+…+cn≤

經(jīng)過思考與交流，學(xué)生很快完成以下變式3的解答：

因此Tn=c1+c1+…+cn≤

自編題2(課后) 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：2Sn=an+1-2n+1,n∈N*，若a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

f(n)max=f(1)=3,

于是λ可取3,因此

3 感悟與體會(huì)

3.1 復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)基于學(xué)生的“原生態(tài)”

人教社章建躍老師指出：教學(xué)設(shè)計(jì)的首要問題是理解數(shù)學(xué)，基于學(xué)生的原認(rèn)知、原生態(tài)；設(shè)計(jì)思想是讓學(xué)生領(lǐng)悟到知識(shí)、方法、技巧的來(lái)源.課程標(biāo)準(zhǔn)也明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程，體會(huì)蘊(yùn)含其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡.

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生的知識(shí)水平、認(rèn)知特點(diǎn)、學(xué)習(xí)困惑、思維習(xí)慣等方面進(jìn)行，注意知識(shí)與方法產(chǎn)生的自然性與合理性.本節(jié)課從問題1入手，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特征，形成問題解決的轉(zhuǎn)化方法；變式1的教學(xué)，教師放手發(fā)動(dòng)學(xué)生分析問題，共同尋求問題解決的途徑，達(dá)到一題多解.這2個(gè)問題看似簡(jiǎn)單，實(shí)質(zhì)上對(duì)數(shù)列和式不等式的放縮解決起到了良好的導(dǎo)向作用，實(shí)現(xiàn)“多解歸一”,即轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的思維目標(biāo)，為后續(xù)問題的解決指明了方向，架設(shè)學(xué)生思維攀爬的“腳手架”.在這個(gè)過程中，既有對(duì)不等式基本性質(zhì)、糖水不等式、數(shù)列迭代等知識(shí)的喚醒、運(yùn)用，又在無(wú)形中滲透了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.所謂有化有歸，突出了本節(jié)課的主題，使本節(jié)課的設(shè)計(jì)貼近學(xué)生、層次清晰、靈活本真、自然生態(tài).

3.2 復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)揭示問題的本質(zhì)

3.3 復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生在課堂上生長(zhǎng)

記得有一位語(yǔ)文老師說(shuō)：課堂呈現(xiàn)的不僅僅是“鮮花”，還應(yīng)該有“花開的聲音”.課堂上最美的聲音是學(xué)生生命里“拔節(jié)”的聲音.高三是知識(shí)、能力長(zhǎng)得最快的“季節(jié)”，復(fù)習(xí)課堂是學(xué)生能力的主戰(zhàn)場(chǎng).“如何讓學(xué)生在課堂上快速生長(zhǎng)”已成為教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)活動(dòng)開展需要思考的重要課題.那種“滿堂灌、一言談、教師講、學(xué)生聽”的復(fù)習(xí)模式應(yīng)扔進(jìn)時(shí)代的垃圾箱，而應(yīng)創(chuàng)設(shè)民主、和諧、生態(tài)的教學(xué)氛圍，教師要“閉口”,學(xué)會(huì)等待、敢于放手.給學(xué)生自主思考的時(shí)間、空間，讓其發(fā)現(xiàn)解決問題的切入口、方法源，促使學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)，內(nèi)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并嘗試改題、編題，使能力在課堂上生長(zhǎng).

[1] 嚴(yán)士健，張奠宙，王尚志.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀[M].南京：江蘇教育出版社,2004.

[2] 潘彩,王弟成.春風(fēng)化雨 潤(rùn)物無(wú)聲[J].數(shù)學(xué)通訊,2014(12)：63-68.