解三角形的一般策略研究
——波利亞理論和方程思想分析

●俞海東 (嵊州中學(xué) 浙江嵊州 312400)

解三角形的一般策略研究
——波利亞理論和方程思想分析

●俞海東 (嵊州中學(xué) 浙江嵊州 312400)

波利亞十分重視解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，數(shù)十年如一日對解題方法進(jìn)行研究，凝聚成一張“解題表”．這張表提供了一套解決數(shù)學(xué)問題的一般方法與模式，本文將參照波利亞的理論、結(jié)合方程思想和規(guī)劃問題的表示手法，形成經(jīng)過規(guī)范化而成為可操作的解題過程，得到解三角形問題的最終形式，也就是思想與實(shí)踐的連接點(diǎn)，最終系統(tǒng)解決絕大多數(shù)的問題.

1 解題第1步：弄清問題

1.1 變量分析

1.2 條件分析

在三角形問題中，條件可以分為3種:

第1種：題目中直接給出的方程與不等式.

第2種：在△ABC中,邊與角需要符合的方程與不等式，例如:

1)自然約束條件：a>0,b>0,c>0，0

2)三角形的內(nèi)角和：A+B+C=π;

4)三角不等式：a

第3種：根據(jù)條件與結(jié)論中出現(xiàn)的符號另外可以列的方程,如:

1)正弦定理的應(yīng)用：

①已知2個角和1對邊，求邊；

②已知2條邊和1對角，求角.

2)余弦定理的應(yīng)用：

①已知3條邊，求其他;

②已知2條邊和相應(yīng)夾角，求其他;

③已知2條邊和1對角，求未知邊.

1.3 結(jié)論分析

這個問題屬于哪種類型？解三角形的問題主要可分為3類：

1)“證明……”或“推算……”型問題.這類問題要求證明某個命題成立或推算某個表達(dá)式的值，會對結(jié)論進(jìn)行反推.

2)“求……(值)”或“求所有的……(值)”型問題.這類問題要求找出滿足某些條件的一個或所有的值，會對題目中出現(xiàn)的任意性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)(特殊化).

3)“是否存在……”型問題.這類問題要求證明一個命題或給出一個反例.

1.4 對條件與結(jié)論進(jìn)行差異性分析

分析條件與結(jié)論的變量差異，利用等式將多余的變量消元，或利用不等式消元去掉結(jié)論中沒有出現(xiàn)的變量(結(jié)合不等式的傳遞性).

分析條件與結(jié)論的代數(shù)式次數(shù)差異，尋找通過等式運(yùn)算或不等式運(yùn)算將代數(shù)式統(tǒng)一的途徑.

1.5 問題匯總

2 解題第2步：擬訂計(jì)劃

2.1 列出等式關(guān)系

1)找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系.

①作圖，分析條件與結(jié)論中的符號，結(jié)合正弦定理與余弦定理使用的各種情況列出方程.

②作圖，標(biāo)記已知條件，題目條件缺乏確定性時，引入符號.

圖1 圖2

分析 如圖2所示，條件中只有1個角、1對邊,三角形不確定，可引入角C(由于已知角B)，則由“2個角1對邊”知道，可利用正弦定理列出方程

利用等式消元得

c+2a=2sinC+4sin(120°-C)=

2．2 利用等式消元

三角形問題的簡化，一般有2種方向:將條件與結(jié)論中出現(xiàn)的量全部轉(zhuǎn)化為邊或全部轉(zhuǎn)化為角.

1)邊轉(zhuǎn)化為角的2種情況：

①對已知方程代數(shù)式中的邊的次數(shù)進(jìn)行觀察，若左、右2邊代數(shù)式具有齊次性，則可考慮利用a=2RsinA,b=2sinB,c=2RsinC將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦；

2)角轉(zhuǎn)化為邊的2種情況：

3)利用其他等式：

經(jīng)過前面的簡化，三角形問題的變量已經(jīng)統(tǒng)一到邊或角，一般可以用2種規(guī)劃問題來描述.

邊的三元規(guī)劃為

角的三元規(guī)劃為

然后利用等式(即方程)再次消元.

①利用邊的關(guān)系消元.

圖3

分析 如圖3所示，將條件中的已知作標(biāo)記，已知a,c,B，利用余弦定理可得

b2=a2+c2-2accosB=

a2+c2-ac,

利用邊關(guān)系c=2-a，消元可得

b2=a2+(2-a)2-a(2-a)=3a2-6a+4=

3(a-1)2+1.

因?yàn)?

1≤b2<4,

即

1≤b<2.

②利用角的關(guān)系消元.

例4 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足csinA=acosC．

1)求角C的大小；

分析 1)條件方程中左、右2邊都是一次的，由a=2RsinA,c=2RsinC,得

sinCsinA=sinAcosC.

2.3 分析條件與結(jié)論相互轉(zhuǎn)化的可行性

例5 在△ABC中，如果有性質(zhì)a2=b(b+c)，求證：A=2B.

分析結(jié)論 從結(jié)論來看是一個證明題，證明問題的方向有2種:綜合法是從已知出發(fā)到結(jié)論，分析法是從結(jié)論出發(fā)到已知.

結(jié)論為A=2B，證明過程就是不斷尋找條件a2=b(b+c)的必要條件(即中間結(jié)論)，最后由中間結(jié)論推出A=2B；或者不斷尋找結(jié)論A=2B成立的充分條件(即中間結(jié)論)，最后中間結(jié)論為條件a2=b(b+c)的充分條件.由于條件為邊，比較復(fù)雜，結(jié)論為角，比較簡單，且為等式，因此可以考慮分析結(jié)論A=2B的充要條件.由于

由角的正弦齊次，可以考慮化為邊，角的余弦也可以化為邊,即

整理得

a2c=b(a2+c2-b2).

由于三元方程比較復(fù)雜，故可考慮分離變量，得

a2(c-b)=cb2-b3,

顯然可由a2=b(b+c)推出a2(c-b)=cb2-b2,得證.

2.4 將條件向圖像轉(zhuǎn)化的2種典型情況

要把三角形確定下來，一般需要3個條件.下面我們重點(diǎn)來研究“已知1條邊和1個角”的情況：

1)如果是對邊與對角已知，如圖4所示動點(diǎn)M到線段BC的2個端點(diǎn)張角為定角的軌跡是△MBC的外接圓的一部分;

圖4 圖5

2)如果是一邊與鄰角已知，如圖5所示，線段BC固定和角B確定，則動點(diǎn)M的軌跡為一條射線.

2.5 將其他問題轉(zhuǎn)化為三角形問題

涉及到3個頂點(diǎn)、3條邊和3個角的問題都可以歸結(jié)到解三角形問題中.

例6 已知2個非零向量a,b的夾角為60°，且|a-b|=2，求a·b的取值范圍.

圖6

利用極化恒等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量積

此式中BC=2，AD的長在變化,故

3 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

執(zhí)行你的解題方案，檢查每一個步驟.你能清楚地看出這個步驟正確嗎？你能否證明它的正確性？

4 回顧反思

你能檢驗(yàn)這個結(jié)果嗎？你能驗(yàn)證這個論證嗎？你能在別的什么題目中利用這個結(jié)果或這種方法嗎？

5 總結(jié)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：學(xué)數(shù)學(xué)不解題，如入寶山而空返.其實(shí)，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.每個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人都希望自己能簡捷而準(zhǔn)確地解決各種數(shù)學(xué)問題.對于解決三角形問題而言，等式處理部分基本上體現(xiàn)的是方程思想——選擇基本量、列方程、消元；不等式處理部分，要學(xué)會從綜合法和分析法分析，對條件與結(jié)論相互推導(dǎo)的方向作仔細(xì)地觀察，不斷地嘗試，最終找到解決的辦法.