圓錐曲線高考題熱點題型及通用妙解

●林逸凡 (吉林大學附屬中學實驗學校高中部 吉林長春 130000)

圓錐曲線高考題熱點題型及通用妙解

●林逸凡 (吉林大學附屬中學實驗學校高中部 吉林長春 130000)

2015年高考在社會各界的廣泛關注下轟轟烈烈地落下了帷幕.在收集整理各地真題的過程中發現，許多省市如山東、浙江、湖北、上海等，在對圓錐曲線的試題命制中，不約而同地采用了同一種題型——求2個交點和原點O構成的三角形面積.這類題型如果采用傳統的坐標法，通常需要對直線的斜率是否存在進行討論，計算過程也相當麻煩，得分率不高.

在實際的教學過程中，筆者曾引導學生對這一類題型進行歸納，進而得出一種簡潔優美的通用解法.有趣的是，當時恰是受了2013年山東省數學高考真題的啟發.2015年山東省“舊瓶裝新酒”，又出了同類型的題目，應當引起考生的重視.高考題往往是能夠追根溯源的，鼓勵學生在平時勤思考,多總結、歸納題型，領悟題魂，對提高自身解題能力有相當大的幫助.教師可以讓學生站到一個更高的視角去看問題，難題自然迎刃而解.

1 熱點題型：求2個交點和原點O構成的三角形的面積

對坐標系內2個點與原點O構成的三角形面積計算，有如下結論：

證明 (向量法)

事實上，用向量法計算面積不一定要過原點，只需知道2個向量的直角坐標即可；也不一定是求三角形面積，同樣可以求四邊形面積，因此，以下幾種情形也可用此方法解決：

圖1 圖2 圖3

2 心有靈犀：向量法求面積

例1 已知橢圓x2+2y2=1，過原點的2條直線l1,l2分別與橢圓交于點A,B和C,D.記得到的ABCD的面積為S.

1)設A(x1,y1)，C(x2,y2),用A,C的坐標表示點C到直線的距離，并證明S=2|x1y2-x2y1|;

(2015年上海市數學高考試題第21題)

3 追根溯源：陳年舊題中總結出的解題技巧

2)設線段PQ的中點為M，求|OM|·|PQ|的最大值.

(2011年山東省數學高考理科試題)

解 (向量法結合參數方程法)

因此 sin(α-θ)=±1，

(1)

于是 |PQ|2=3(cosθ±sinθ)2+2(sinθ?cosθ)2=

5±2sinθcosθ=5±sin2θ.

從而

則由式(1)得,存在整數k1,k2,k3使得

式(2)+式(3),得

α-γ=(1+k1+k2)π,

與式(4)矛盾，故假設不成立，因此不存在滿足條件的點.

點評 這道題再次展現新方法，即向量法結合參數方程的優勢，尤其是第3)小題，能更深入地看到問題的本質：為什么不存在滿足條件的點.

有時三角形不過原點，同樣可以采用參數方程法解決，例如2013年湖北省數學高考試題：

圖4

1)當直線l與y軸重合時，若S1=λS2,求λ的值.

2)當λ變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使S1=λS2？并說明理由.

(2013年湖北省數學高考試題第21題)

2)(參數方程法)設A(acosθ,msinθ)，B(acosα,nsinα)，則

D(-acosθ,-msinθ)，C(-acosα,-nsinα).

由對稱性知，點M,N到AD的距離相等，因此

即

(6)

將式(6)代入式(5),得

(7)

(8)

點評 該題是2013年湖北省數學高考壓軸題，用參數方程法求解簡潔優美.將面積比轉化為α,θ的正弦和余弦的比值，然后為了使λ有解，求出α,θ的正弦和余弦的比值可能的取值范圍即可.

4 牛刀小試：新方法在2015年高考題中的應用

2015年許多省份在對圓錐曲線的試題命制中，都采用了求2個交點和原點構成的三角形面積這一出題思路.

圖5

1)求實數m的取值范圍；

2)求△AOB面積的最大值(O為坐標原點).

(2015年浙江省數學高考試題第19題)

解 (向量法結合參數方程法)

由點差法算得

又

(9)

2)由結論1可知，

由式(9)得

式(11)2+式(12)2,得

(13)

將式(13)代入式(10),得

1)求橢圓C的方程.

②求△ABQ面積的最大值.

(2015年山東省數學高考試題第20題)

解 (向量法結合參數方程法)

(14)

M(xM,yM)=(2(cosθ+cosα),sinθ+sinα),

N(xN,yN)=λ(2(cosθ+cosα),sinθ+sinα).

圖6

如圖6，過點N作線段A′B′∥AB，分別與直線OA,OB交于點A′,B′，則

A′=(4λcosθ,2λsinθ),

B′=(4λcosα,2λsinα).

(cosθ+cosα)2+ (sinθ+sinα)2=

(15)

故