數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用研究

姚春蘭

【摘 要】新課程改革提倡全面發(fā)展，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)是一門復(fù)雜性的學(xué)科，相對(duì)于其它學(xué)科，內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)具有抽象化特征。初中數(shù)學(xué)在全日制教學(xué)內(nèi)占據(jù)著十分重要的位置，為了使學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)該采用靈活多樣的教學(xué)方式來進(jìn)行常規(guī)的教學(xué)。當(dāng)前而言，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常見的一種教學(xué)方法便是“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)方法，這種方法可以借助圖形向?qū)W生講解傳授一些較為抽象的知識(shí)和內(nèi)容，使其變得更加直觀且容易理解。所以，本研究也將主要就初中數(shù)學(xué)課程采用數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)的相關(guān)方面內(nèi)容加以分析，希望所得結(jié)果能夠?yàn)橄嚓P(guān)教學(xué)領(lǐng)域提供可行的參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用研究

一、引言

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師采用一些幾何圖形的性質(zhì)將某些數(shù)量之間的關(guān)系和概念的抽象化定義直觀地展示出現(xiàn)，幫助學(xué)生更加直觀、簡(jiǎn)單地了解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握答題技巧，這就是本研究當(dāng)中所提到的數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合不僅可以借助圖形來表達(dá)某種數(shù)量之間的聯(lián)系，也能夠?qū)⑾嚓P(guān)的圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，以便于能夠獲得更為精確的結(jié)論。在初中數(shù)學(xué)課堂上，采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法能夠有效地將復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單和明朗。與此同時(shí)，也能夠幫助學(xué)生有效拓展解題思路，對(duì)研究和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)是一種有效的教學(xué)方法。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法的意義

簡(jiǎn)單來說，數(shù)形結(jié)合就是將抽象化的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，也就是代數(shù)問題和幾何問題之間的相互轉(zhuǎn)換。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法是一種有效的教學(xué)方法，這種教學(xué)方法能夠精確地刻畫代數(shù)的定義，直觀地表達(dá)幾何問題。這樣就能夠使某些比較抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生的腦海里。對(duì)于初中學(xué)生來說，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法能夠使學(xué)生更加順利地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠幫助學(xué)生練就出觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，符合新課標(biāo)的相關(guān)要求。

對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法主要可以分為四步。①建立起以方程和不等式為主的函數(shù)代數(shù)模型；②構(gòu)建函數(shù)圖像或幾何圖形來解決相關(guān)的函數(shù)和方程問題；③構(gòu)建幾何圖形或函數(shù)圖像來解析相關(guān)的幾何和函數(shù)綜合性問題；④以圖像的方式將某些信息的應(yīng)用性問題呈現(xiàn)出來。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，需要將數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)階段，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維方式，將數(shù)量和圖形更好地結(jié)合起來，再加合理的轉(zhuǎn)換，就能有效解決某些頭疼的問題。數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中更好地養(yǎng)成、觀察、分析、類比、綜合、概括和抽象的思維方式，這樣不但能夠更好地解決在學(xué)習(xí)上遇到的某些疑難問題，也能夠?qū)⑦@種方法運(yùn)用到生活中。

三、數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

1.數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用——“以數(shù)助形”

“以數(shù)助形”，“數(shù)”便是“代數(shù)”，而“形”則是“圖形”。而這兩方面的內(nèi)容也是初中數(shù)學(xué)所主要研究的內(nèi)容。具體來說，這兩方面的內(nèi)容是相互聯(lián)系的，“數(shù)”與“形”本身就是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，采用數(shù)形結(jié)合的方法教學(xué)，不僅能夠使學(xué)生更好地掌握這兩方面的內(nèi)容，而且這也是數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合的必然要求。所以，要想更好地理解數(shù)形結(jié)合中代數(shù)和圖形的關(guān)系，那么就需要對(duì)其進(jìn)行認(rèn)真的分析和研究。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如果想要更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，那么就需要將代數(shù)和圖形之間的常見結(jié)合點(diǎn)作為研究的出發(fā)點(diǎn)。從“以數(shù)助形”來分析，兩者之間的結(jié)合點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。①將相關(guān)圖形的面積、角度和距離作為幾何量，以此來解決相關(guān)的幾何問題；②采用坐標(biāo)系和數(shù)軸將某些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再進(jìn)行解決。

舉個(gè)實(shí)例，△ABC當(dāng)中，∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)的變分別是a、b、c。那么：①在該三角形內(nèi)，如果∠A=2∠B，且∠A=60°，證明：a2=b（b+c）；②假設(shè)三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么我們就稱三角形為“倍角三角形”。所以，在第一問里，該三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，但是是否對(duì)于任何倍角三角形（∠A=2∠B），關(guān)系式a2=b（b+c）都能成立，試著證明你的結(jié)論。這是一個(gè)典型的以數(shù)助形的試題，主要運(yùn)用了采用相關(guān)圖形的角度來解決集合問題的。所以我們可以做出這樣的分析。在該△ABC當(dāng)中，因?yàn)椤螦=2∠B，且∠A=60°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定義，可以得出三角形為直角三角形（Rt△），∠C=90°。

證明：

①：Rt△ABC中，a=c，b=c.

∴a2=（c）2=c2，b（b+c）=c（c+c）=c2，

∴a2=b（b+c）。

②：任意倍角三角形，∠A=2∠B，a2=b（b+c）的關(guān)系依然成立。

如圖1所示。延長BA到D，則AD=AC=b，連接CD，則∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a。

得出△ADC∽△CDB，因而=，∴=?！郺2=b（b+c）。

所以，通過這個(gè)例子可以得出，在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，利用三角形內(nèi)角和定義可以分析角角關(guān)系，利用三角函數(shù)能夠證明幾何定理。

2.數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用——“以形助數(shù)”

數(shù)學(xué)中，集合圖形的最大特點(diǎn)就是直觀易懂，所以在采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，很多數(shù)學(xué)老師和學(xué)生都喜歡采用“以形助數(shù)”的方式來解決一些現(xiàn)實(shí)當(dāng)中所遇到的問題。比如說用幾何圖形來解決代數(shù)的問題，往往都會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果。將幾何圖形運(yùn)用到代數(shù)方面，實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”，主要也可以從兩個(gè)方面來進(jìn)行分析。①利用幾何圖形來記憶相關(guān)的代數(shù)公式。舉個(gè)例子來說，對(duì)于完全平方公式可以采用正方形的分割圖來輔助進(jìn)行記憶。通過兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，就能夠用來輔助記憶梯形的面積公式；②可以利用坐標(biāo)系或數(shù)軸可以賦予一些代數(shù)表達(dá)式的幾何意義，對(duì)幾何圖形加以構(gòu)造，就能夠直觀地解決代數(shù)問題，進(jìn)而將代數(shù)運(yùn)算加以簡(jiǎn)化。舉個(gè)例子來說，絕對(duì)值的幾何定義就能夠用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離來加以表示。再比如說，在函數(shù)圖像上，函數(shù)圖像和y軸的焦點(diǎn)就是函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義。

例如，已知x為正數(shù)，求y=+的最小值。分析可以得出，將+進(jìn)行整理，可以得出：+，所以在坐標(biāo)當(dāng)中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（x，0），到兩點(diǎn)（0，2）和（2，1）的距離之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題。所以解答的時(shí)候，就是這樣的：

y=+，

使P（x，0）、A（0，2）、B（2，1），所以y=PA+PB。做點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，坐標(biāo)為（2，-1）。所以y的最小值為AB==。如圖2。

四、結(jié)語

本研究主要就初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的相關(guān)應(yīng)用做出分析研究。在新課程改革不斷發(fā)展的前提下，初中的數(shù)學(xué)教學(xué)模式也在不斷地發(fā)生著變化。數(shù)形結(jié)合的方式無論是對(duì)于教師授課還是對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)而言，都具有非常重要的意義。所以，合理利用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)模式，“以形助數(shù)”、“以數(shù)助形”，這樣才能夠在根本上提高初中數(shù)學(xué)的教學(xué)效率。

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