提升教師問題意識，促進主動發展的教學案例分析

王銀珠　張新軍

【摘 要】培養問題意識是學生主動探索的切入口，激發問題意識，形成自己的獨立見解，真正改變學生的學習方式。數學教學中，數學問題意識是引發學生思維與探索活動的向導。教學中問題意識的構建要符合學生的認知起點，能引導學生探究數學發生的過程，尋找到數學的本質。

【關鍵詞】問題意識；引領教學；活動中構建；提升學科能力

普通高中新課程《數學課程標準》的亮點是突出“過程性目標”。要學生“經歷、體驗、探索”。培養問題意識正是讓學生主動探索的切入口，從而激發問題意識，形成自己的獨立見解，真正改變學生的學習方式。同時新的課堂教學突顯“問題引領教學活動”的認知。問題成為教學過程的起點，也是教學過程的指向，促進主動發展的課堂教學的著力點。

數學教學中，數學問題意識是引發學生思維與探索活動的向導。有了問題意識，學生的好奇心才能激發；有了問題意識，學生的思維才開始啟動；有了問題意識，學生的探索才真正有效；有了問題意識，學生的學習動力才能持續。然而問題意識的引發離不開教師對問題意識有效構建，只有教師教學的問題意識鋪墊，才能有效劃歸為學生的問題意識的構建。那種簡單的“是不是”、“對不對”等沒有思維含量的提問充斥課堂，只能弱化學生的智力。通過問題意識，才能把知識的邏輯結構與學生的思維過程有機的聯系起來，使知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構，才能讓學生有效發現數學的內在規律、認識、理解數學本質，并在活動中構建數學，真正完成問題意識的培養。

案例1.復數概念的引入

問題1：在遨游數字王國時，你還記得數的概念發生和發展的過程嗎？在歷盡幾次“添加新數”之后，數集已經擴充到實數集。但是，由于負數在實數范圍內不能開平方，所以代數運算在實數集內仍不能永遠實施。有些代數方程的問題在實數范圍無法解決或者解決的不夠完美。例如，當b2-4ac<0時，實系數一元方程ax2+bx+c=0沒有實數根；一元三次方程x3=1只有一個根，根的個數與方程的次數如此不一致。數的概念需要進一步發展。

實數集如何推廣？

在新的數集里，怎樣實施數的運算？

這里的問題情境表面上符合“數”的概念擴充過程，學生在過去的經驗中熟悉了當“b2-4ac<0時，實系數一元方程ax2+bx+c=0沒有實數根”這樣的結論，現在要學生從中提出問題很難。這個情境與問題人為色彩嚴重，脫離了學生的認知起點，難以啟動學生的思維。

問題2：16世紀，意大利數學家卡爾丹在討論問題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時，認為把答案寫成5+和5-就可以滿足要求：（5+）+（5-）=5+5=10.（5+）（5-）=5×5-×=25-（-15）=40.我們知道，在實數集內，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，0的平方根是0，然而表示什么意義呢？你也許覺得這個問題有點可笑。因為任何實數的平方都是非負數，所以負數沒有平方根，因此沒有意義。盡管很長一段時間內，部分數學家都認為5+和5-這兩個式子沒有意義，是虛構的、想象的，但在解決許多問題時，使用類似于這樣的式子卻帶來極大地方便。那么能作為數嗎？它真的是無意義的、虛幻的嗎？

這里以數學史上真實發生的故事作為情境，也展現了數學史上真實的問題，這個問題曾經困擾過許多數學家。今天，高中生同樣會對這個看似荒謬但又難以否定的問題感興趣。這個情境與問題符合學生的認知起點，所以學生問題意識的激發更需教師設計問題意識時依托性。

案例2.解三角形中——余弦定理

問題1.開門見山指出“在三角形中，已知兩角及一邊，或已知兩邊和其中一邊的對角，可以利用‘正弦定理求其他的邊和角。那么，已知兩邊及其夾角，怎樣求出此角的對邊呢？已知三邊，又怎樣求出它的三個角呢？”

這個問題是以復習引新式的模式提出來的，上承正弦定理，下啟本節內容，在先概括正弦定理的基礎上提出面臨的問題，學生是否會馬上提出解決這兩個問題的另一個定理呢？他們的內心必然會呼應出余弦定理的誕生么？也許仍會構造直角三角形去完成此任務呢？

問題2.如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條三地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術員現在地面上選一適當的位置A，量出A到山腳B、C的距離，再利用經緯儀測出A對山腳BC的張角，最后通過計算求出山腳BC的長度。

這個問題是以問題情境式提出的，在學生腦海中很快就形成了一個認識沖突，即體現了數學教育聯系實際，又很接近余弦定理的教學目標。

提出問題的出發點不同，對教學活動的導向作用也就不同。探究和證明余弦定理的過程既是本節的一個重點也是本節的難點。問題1及問題2都沒有明確解題的目標。即解三角形的必要條件。特別值得一提的是，教材對正弦定理和余弦定理的講解都用了向量法，可見向量的地位和作用多么的重要。并且運用向量法既可以克服幾何論證中有時要添加輔助線但又難發現的缺陷，又可以帶來用計算代替演繹論證的優越性，可使問題變得簡潔明快、容易入手。但是學生處理問題的第一反應就是化為直角三角形，用勾股定理。向量法卻很少提起，怎樣讓學生去想到0，再變形到，是不容易想到的。是技巧性太強？或是對向量的認識不足？教師在這里狠下功夫認真研究研究，怎樣把學生扶上臺階，成為我們思考的問題。分析其問題之一是學生對向量的認識不足，學生在學習平面向量一章是有缺失，沒有理解向量這一工具地位與重要作用。如何運用向量基底體現及坐標體系解決這個問題新課程是把他分解到另一章節中了。這里再次對教材的整體把握，新課程的螺旋式上升的理解對教師提出更高要求。問題之二是教師沒有構建好學生的知識體系，當然也就無法完成學生的問題意識的構建。還是新課程的螺旋式上升在此處就有不合適之處呢？都值得我們的思考。

問題3.從三角形全等的判定定理可以知道，三角形的基本元素之間存在著一定的數量關系。例如三角形內角和定理揭示了三角形的三個內角間的數量關系，勾股定理揭示了直角三角形三邊間的數量關系。

三角形基本元素間還存在著什么樣的關系呢？

給出在三角形ABC中，存在著向量關系0，再變形到，怎樣把向量關系轉換為數量關系？經討論利用向量的數量積可以講向量關系轉化為數量關系，在上式兩邊平方可以得到余弦定理；在上式兩邊同乘以向量AB垂直的向量，就是前面已學過的正弦定理。

這個問題開門見山，直入本節課的重點。這種接受性學習比發現性學習應該更注重反思過程，從定理的推導過程中你受到了什么的啟發？用向量方法有什么認識？向量關系轉化數量關系的途徑有哪些？這樣學生的問題意識的構建同樣能完成。當然哪種問題意識的鋪墊更能有助學生問題意識的培養仍是值得探討的問題。

所以教師教學中問題意識的構建要符合學生的認知起點；能引導學生探究數學發生的過程，尋找到數學的本質；要有對教材的批判思想的問題意識；要有對教材的整體把握及新課程的螺旋式上升的理解的意識；要有問題意識的依托性、導向性、探究性。才能完成對學生問題意識的有效培養。

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