中美部分線性代數教材比較分析

摘 要 文章對目前流行的國內部分線性代數教材和引進的幾本美國原版教材進行了分析與比較，指出在內容編排、內容處理、邏輯體系等方面存在的不同，就線性代數教材的發展方向及內容改革提出了有關建議。

關鍵詞 線性代數 中外教材 比較

中圖分類號：O241.6 文獻標識碼：A " DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.04.021

Comparative Analysis on Part of Chinese and

American Linear Algebra Textbook

MEI Li

（Mathematics Department， Hubei Land Resources Vocational College， Wuhan， Hubei 430090）

Abstract This article analyzed and compared the domestic part of the popular linear algebra textbooks and the introduction of several American original materials， in terms of content in different layout， content processing， such as the existence of a logical system， the development and direction of linear algebra textbook content reform put forward the proposal.

Key words Linear Algebra; Chinese and foreign textbooks; comparison

在理工科數學教學改革過程中，因為教材集中而具體地體現了教學指導思想、教學內容體系、教學目標要求，所以教材建設是最基礎性的環節。隨著高等教育的發展，越來越多的學校實施了雙語教學，一部分國外優秀原版教材被引進國內（主要是美國的教材，如文[1]～[3]），使用外文教材開展雙語教學固然可以提高學生的英文水平，但更重要的是學習國外優秀教材中所體現的教學思想和教學方法。

線性代數是學習自然科學、工程和社會科學的學生的一門重要的基礎課程，其核心內容包括矩陣以及向量空間理論，這些概念和理論不僅為各個專業領域提出相關問題時提供了準確的數學表達語言，而且也為解決問題準備了有力的工具。線性代數的主要內容有矩陣與線性方程組、矩陣代數、向量與向量空間、行列式，線性變換、歐氏空間等。比較中外教材，發現有很大不同。

第一，對這些內容的編排先后順序及重要性， 國內大部分教材，把行列式作為第一章，而國外教材把線性方程組作為第一章。行列式自然是處理有關問題的一個重要工具，在以后求解線性方程組、求逆矩陣、求矩陣的秩、求向量組的秩、求最大線性無關組、求線性表示等問題時發揮重要作用，但學生一開始就接觸一般n階行列式的定義、性質、計算，顯得非常抽象，而且行列式運算量大，計算步驟復雜。

國外教材把線性方程組作為第一章，通過線性方程組引出矩陣表示，然后引出矩陣的行初等變換，以上討論的行列式的作用都可以通過矩陣的行初等變換解決。事實上是把矩陣及其行初等變換作為重點講述，行列式大多是在矩陣代數以后特征根與特征向量之前講述。

第二，在內容處理上，國外教材及早引進了一些重要概念，例如在第一章線性方程組就引入線性組合和線性無關的概念，從而幫助學生很快地從用一般方法解線性方程組過渡到用基、生成系等概念等來處理和解決相應的問題（[1]、[2]）。文[2]在第一章線性方程組就引用了線性變換的概念，而文[1]在第三章向量空間里也討論了線性變換。

國內教材大多比較注重邏輯順序引入一個概念之前要作很多鋪墊，從行列式到矩陣再到矩陣的初等變換，講到向量的線性相關性已是第三章或第四章，而線性變換則安排在最后一章作為選學內容。

第三，向量空間的概念是線性代數學習中的一個難點，國外教材大多將二維空間與三維空間作為特殊例子，文[1]專門在第2章討論二維空間和三維空間，這是兩個非常形象，學生又很熟悉的空間，在這個基礎上，推廣到Rn這個n維空間，實現了從感性思維到理性思維的一個飛躍，最后再進入完全抽象的一般線性空間。

國內教材很少有將R2與R3作為Rn的特殊例子的，所以學生覺得抽象，也許這部分內容是高等數學中向量解析幾何的內容，但R2與R3中向量之間的線性關系卻是高等數學中所沒有的。鑒于此，目前有些將線性代數與解析幾何統一處理的教材。一方面，線性代數為解析幾何提供方法;另一方面，解析幾何為線性代數提供模型和推廣的基礎。

第四，在內容的邏輯推理上，國內教材由于受到前蘇聯教材的影響，對定義、定理、證明、舉例這一套推理十分強調，甚至是過分強調（文[6]）。現行國內差不多每一本教材的每一節內容都是定義、定理、證明、舉例的邏輯體系，不同的是有些定義之前可能有引例，有些定義之后有性質。這樣的教材讀了之后，有時會讓人感到過于抽象，索然無味，甚至對這門課程不得要領，不知道課程的重點在哪里，也不知道學這門得到底要干什么。其實一本教材最重要的是要說清楚這門課的主題和最主要的內容，包括來龍去脈與思維過程，同時要考慮讀者的接受程度和學習方法，書中的定義、定理、證明、舉例的邏輯結構都是為這個主題服務的，所以也沒有必要千篇一律都按照這個邏輯機構編排。

目前引進的原版教材幾乎沒有以上的邏輯推理，都是定義和例子加很少的定理或性質，可以看出國外教材更注重基本概念。

第五，線性代數是一門既嚴謹又抽象的課程，國內教材由于注重邏輯推理，例子少而又少，特別是缺少有實際背景的例子，而國外教材大多有很多有實際背景的例子，例如，交通網、電網的例子，解析幾何的例子，經濟模型、航空模型、動力系統等，通過這些實際例子的具體計算，自然地逐步地建立抽象的概念和理論。

抽象性是線性代數的一大特點，也是所有數學類課程的一大特點，因為抽象所以難學。線性代數的教材中幾乎所有定義都是抽象的。抽象本身并非壞事，“一切科學的抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然”（列寧語），正是數學的抽象性確定了數學應用的廣泛性。在教學中我們要讓抽象更自然，力求通俗易懂，貼近現實生活，用活生生的實際問題克服抽象帶來的困難。所以一本好的教材應以實際為背景，逐步過渡到抽象的概念和內容，增加趣味性，激發學生的求知欲，增強學好、用好線性代數的信心。

第六，國內教材的排版格式大多固定不變，比較呆板，而國外教材則比較活潑，定理及重要內容大多用矩形框表出，或者加上底紋，另外由于加上了很多例子和應用，所以圖形比較多，一些內容通過圖表來幫助理解。

第七，21世紀是信息的時代，現代教學手段促進了教學改革的步伐，為進一步提高教學質量提供了有利的教學環境，國外一些教材大多講了數學軟件Matlab在線性代數中的應用，并且每章結尾都附有專門用Matlab做的練習題，這有助于培養學生運用現代數學軟件學習線性代數和應用代數知識解決實際問題。目前國內很多院校開設了數學實驗課程，專門講述一些數學軟件的使用，也有一些教材開始附上Matlab等數學軟件的使用與練習，但僅僅是剛剛開始。線性代數學時有限，如何利用數學軟件輔助教學是一個有待探討的課題。

第八，國內教材大多邏輯推理嚴密，內容豐富，而留給學生的作業則要求學生鞏固掌握，通常教師授課時將課本內容吃透再講給學生，而且要信息量大，學生始終處于一種被動接受的地位，作業也只需依據教師的講授便可完成，毫無創新可言。比如向量的線性相關性一章定理、推論眾多，學生難于掌握。

國外教材的主要內容相對較少，主要是定義與例子，而課后的練習則相對較多，一些定理或性質大多放在練習題里，讓學生自己去發現，主要是培養學生的自學能力，課堂上也有練習（Class exercises），每周都有一次輔導課（Tutorial），由此可以通過教材看出中外教學思想和教學方法的不同。

2001年教育部頒布的新課程標準中提出了一個新的理念：“數學教學活動必須建立在學生的認知水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。”其新理念對所有數學類課程教學都是適用的。在教學一對矛盾中，教師始終“占據”主角地位，掌握著話語權和裁判權。所以教師時而會抱怨學生，說自己講了十遍八遍，花費了很大氣力，學生還是不會，甚至根本不聽。要解決這個問題，就要轉變教育觀念。教師和學生的地位更平等，由教師過去課堂上的表演主角、知識傳授者、真理的化身，轉變為學生知識學習活動的設計者、組織者、指導者和參與者。更多地讓學生自己進入角色去感受、去探索、去表達，即便失敗也不可怕，讓學生由被動接受向主動學習轉變，是新的課程教學改革方向。

總之，中外線性代數教材存在著很大的不同，國內教材有自己的優勢和不足，可以借鑒國外優秀教材的優點以彌補其不足。目前，國內高等教育正在發生重大的變化，正在走向大眾化教育，社會主義市場經濟體制、科技創新導向以及依法治國對高等教育人才培養工作提出了新的要求，高等學校之間的競爭也日趨激烈。科學技術在飛速發展，工業領域內的新技術、新工藝、新材料層出不窮，基礎學科領域的理論體系也有了重大發展與變化，然而高等教育的很多課程教材卻在幾十年內基本沒有大的變化。現在的線性代數教學正在迎接新的挑戰，教材、教學思想和教學方法都不是固定不變的，必須適應變化的形勢，通過比較我們可以吸取中外教材的精華，然后與中國實際相結合，必將推進我國的教材改革和課程建設，從而出版更多優秀的教材，以促進我國創新人才的培養。

參考文獻

[1] [美]Lee W.Johnson.Introduction to Linear Algebra（Fifth Edition）.北京：機械工業出版社，2002.

[2] [美]David C.Lay.Linear Algebra and Its Application （Third Edition）.北京：電子工業出版社，2004.

[3] [美]S.K.Jain.Linear Algebra：An Interactive Approach.北京：機械工業出版社，2003.

[4] 同濟大學應用數學系.線性代數（第四版）.北京：高等教育出版社，2007.

[5] 齊民友.線性代數.北京：高等教育出版社，2003.

[6] 龔升.數學基礎課教材隨想.高等理科教育，2000（1）：38-41.

[7] 宋海洲.“線性代數”內容重排及課件建設.高等理科教育，2003（4）：61-65.

[8] 馬立.《線性代數》課程改革的幾點構想.曲靖師范學院學報，2004（3）.

[9] 殷明.關于線性代數教材結構教法及建設的思考.合肥工業大學學報（社會科學版），2002.16（2）：108-110.