巧舉反例，提升學生自主學習能力

初中數學中，有很多數學概念、性質、定理、方法等知識。在數學領域里，任何一個定理與方法的提出，都需要經過一個嚴密而漫長的邏輯推理過程，才能被公眾所接受，并在日后的數學推理中應用。然而，想要推翻這一系列論證過程，只需要一個證明其有誤的相反實例就可以了，這就是本文所要討論的反例。反例不僅在推進數學理論研究中具有舉足輕重的作用，在學生的具體學習過程中也是不可或缺的。在初中數學教學中巧舉反例，可以起到提升學生自主學習能力的效果。

反例，引出數學概念

巧舉反例的方式，可以貫穿初中數學課堂教學的全部環節中。在學習數學知識時，最為基礎的部分莫過于概念了。它如同一塊塊磚瓦，彼此連結，堆積成了初中數學的知識大廈。如果在概念理解這個初始環節便出現了漏洞，就會直接導致其后知識內容的難以準確掌握。因此，教師必須將數學概念的理解放在課堂教學的重要位置。

例如：在帶領學生們學習單項式的概念時，我便引導大家采用了運用反例的思考方式。在學生們閱讀過教材當中的概念表述后，請大家列舉出一些自己認為正確的單項式。大多數學生所想到的都是2a、3x等常規形態的單項式。于是，我進一步啟發學生：、5、是否為單項式呢？這樣的反例式問題一出，學生們馬上找到了對于單項式概念應當關注的重點。在完成了對于這些比較典型的對象分析之后，大家對于單項式的理解，也更為深入和透徹了。

可以看出，數學概念的教學過程，是十分適合巧妙運用反例的。初中數學的教學語言十分嚴謹和精煉，常常會在短短幾個字中蘊含豐富的含義，若是僅從字面上理解，學生們很難做到對概念內涵進行準確而全面地把握。加入了反例之后，學生們便得以輕松地找到自身概念理解的薄弱點，并以此方式不斷自主鞏固和完善理解。

反例，論證定理

仔細觀察教材不難發現，在初中數學中，逐漸出現了諸多性質、定理等內容，且在整個知識內容范圍里占據了不小的比重。這些性質和定理也是學生們高效解決各種數學問題的有力武器。因此，對于這部分知識內容的學習必須高度重視。為了達到理想的學習效果，巧舉反例是教師們應當傳達給學生的有效方法。

例如：在全等三角形判定定理的教學過程中，先后出現了SSS、SAS、ASA和AAS等幾個重要的判定定理。上述內容教學完成后，我提問學生：“大家認為，是否可以通過SSA來判定兩個三角形全等呢？”學生們不假思索地認為，這個定理也是存在的。于是，我向大家舉出了這樣一個反例：以△ABC的頂點A為圓心，以CA為半徑作一個圓，且與邊BC相交于點D。那么，不難得出，在△ABD和△ABC當中，AB為公共邊，∠B為公共角，CA=DA，完全滿足SSA的要求，但很顯然，這兩個三角形是不全等的，可見SSA的判定定理是錯誤的。這個反例的提出，讓學生們恍然大悟，對于以上判定定理的記憶，更深刻了。

教師在進行每一個定理的教學時，都需要對其進行細致的推導和論證，保證該定理產生的科學性。也就是說，每一個定理的誕生，都是經得起各種質疑、推敲的。因此，如果學生真正掌握了一個定理，也就自然能夠接受反例的提出。反例的運用，可以成為學生對于定理掌握程度進行自我檢驗的便捷途徑，讓自己的數學知識準確無誤。

反例，推理生活實際問題

在初中數學學習中，學生們除了需要牢固掌握概念、定理等基本知識外，還應當結合實際問題的解答，從中總結、提煉出相應的數學思想方法進行運用。這是對于初中數學學習所提出的高層次要求，更是學生們數學學習效果的升華。那么，如何保證所提煉和掌握的數學方法是可以普遍適用于所有相關問題的解答過程中呢？反例就成為了一個有力的標尺。

例如：在向學生們教授方程的解法時，我特別強調了對于未知數系數進行分類討論的解題方法。為了讓大家能夠真正理解該數學方法的用意所在，我要求學生們對-2=這一方程進行求解。經過去分母、去括號、移項及合并同類項等步驟，最后得出了（a-b）x=-（a-b）2的表達式。這時的化簡便成為了重要一步，必須按照上述數學方法要求，對于a-b是否為0進行分類討論，便可分別得出x=-a+b和x為任意實數兩種情況。如果沒有經過這個討論的步驟，所得出的最終結果顯然是不完整的。這種反例的出現，讓學生們意識到：在掌握每一種數學方法時，都必須細致、落實。

掌握了反例運用的方法之后，學生們對于數學方法的總結、理解和運用更加自如了。當接受一個新的數學思想方法之后，學生可以通過自主尋找反例來驗證該方法的準確性。在尋找反例的同時，也是促進學生對該思想方法進行深入理解的過程，一舉兩得。

反例的運用，為初中數學教學提出了一個新視角，引導學生們開始從相反的方向看待數學學習。這個方式讓學生們耳目一新，對于初中數學學習又產生了濃厚的興趣。與此同時，巧舉反例也為學生們的自主學習開辟了一條捷徑。對于很多性質定理，與其從正方向進行大面積的研究，很多時候的效果仍不及一個反例的作用。在教師的引導之下，學生們完全可以自主提出反例，從而對于知識內容進行全面認知，既能完善初中數學學習效果，又能提升學生們的自主學習能力。

（作者單位：江蘇省海門市德勝初級中學）