兩類概率模型的探討及一道模擬題的反思

摘 要：古典概型是最基本的一種概率模型.由于學生在學習古典概型中把概率公式的法則作為重點，而忽視古典概型的“基本事件”和“等可能性”這兩個概念，就形成了一種“一講就會，一做就錯”的現象.結合一道引起爭議的模擬題的錯解，再次來解讀教材中古典概型的知識結構，并以摸球模型和分球入盒模型給出古典概型問題的一些有用方法.

關鍵詞：古典概型；基本事件；摸球模型；分球入盒模型

一、背景資料

例題：現有三個小球全部隨機地放入三個盒子中，設隨機變量X為三個盒子中含球最多的盒子里的球數，求X的數學期望E（X）.

生：將3個相同的小球分成三類：（1，1，1），（0，1，2），（0，2， 1），（1，0，2），（1，2，0），（2，0，1），（2，1，0），（3，0，0），（0，3，0），（0， 0，3）.

因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.

學生沒想到這樣的做法是不是滿足古典概型模型.

二、古典概型解讀

我認為課標中要求“通過實例，理解古典概型及其計算公式”有幾個方面的含義：（1）理解基本事件的概念；（2）理解古典概型中的基本事件的等可能性；（3）理解古典概型概率計算公式.

一個模型只有滿足基本事件的有限個和等可能性這兩個特征時，才能用下面計算隨機事件的概率公式：

P（A）=■.

所以要用古典概型解決某些問題，應該分三步進行：

1.確定基本事件；

2.驗證所確定的基本事件是否滿足古典概型的要求；

3.如果滿足古典概型的條件就利用古典概率的計算公式計算所關心事件的概率；否則重新確定基本事件并回到第2步.在上面的第2步中，確定各個基本事件發生的可能性是否相等時，也許還會用到其他古典概型的知識.

比如教材中同時擲質地均勻的兩個骰子，如果關心出現事件Aij=一個骰子出現的點數i，一個骰子出現的點數j的概率，顯然這21個事件A11，A12，…，A66兩兩互斥可以作為基本事件.為判斷以A11，A12，…，A66為基本事件能否構成古典概型，需要證實這些基本事件出現的可能性是否相等.可以分別計算這些基本事件的概率，以得到判斷結果.

同時擲兩個骰子的可能所有結果：

（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）

（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）

（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （*）

（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）

（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）

（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）

顯然這些結果出現的可能性相等，均為■，因此由（*）構建了一個古典概型.注意到A11={（1，1）}，A12={（1，2），（2，1）}，利用概率的計算公式得P（A11）=■，P（A12）=■=■.從而以A11，A12，…，A66為基本事件不能構成古典概型.

三、例題分析

例題：現有三個小球全部隨機放入三個盒子中，設隨機變量X為三個盒子中含球最多的盒子里的球數，求X的數學期望E（X）.

探究：將3個小球記為a，b，c，放入三個盒子的可能所有結果為：

（a，b，c），（a，c，b），（b，a，c），（b，c，a），（c，a，b），（c，b，a）

（ab，c，0），（ab，0，c），（0，ab，c），（0，c，ab），（c，ab，0），（c，0，ab）

（ac，b，0），（ac，0，b），（0，ac，b），（0，b，ac），（b，ac，0），（b，0，ac） （**）

（bc，a，0），（bc，0，a），（0，bc，a），（0，a，bc），（a，bc，0），（a，0，bc）

（abc，0，0），（0，abc，0），（0，0，abc）

顯然這些結果出現的可能性相等，均為■，可以構成古典概型.則P（X=1）=■；P（X=2）=■；P（X=3）=■.

因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.這個答案作為這道題的標準答案.

對比學生做法：將3個相同的小球分成三類：

（1，1，1），（0，1，2），（0，2，1），（1，0，2），（1，2，0）

（2，0，1），（2， 1，0），（3，0，0），（0，3，0），（0，0，3）（***）

因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.

現由（**）構成的古典概型來計算（***）中每個試驗結果的概率，則P（（1，1，1））=■，P（（3，0，0））=■.顯然由（***）代表的基本事件不是等可能的，這些基本事件就不能構成古典概型，因此■不能作為標準答案.

這里要把“三個小球”看成“三個不同的小球”，構建成古典概型模型，再利用計數原理這個工具快速地解答此題.總體包含的基本事件數為33，X=1表示的基本事件的總數為A33，X=2表示的基本事件數為C23·A33，X=3表示的基本事件數為C13，所以P（X=1）=■=■，P（X=2）=■=■，P（X=3）=■=■.因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.這個解答過程就可以作為此題的標準解答過程.

四、常用模型

下面通過幾個典型例題的分析，就球模型和球盒模型的解題方法做一些淺顯的分析與探討.

1.摸球模型

例1.袋中有4個紅球，3個白球，從中任取3個球，求：

（1）A=“有放回依次取到紅、白、紅三個球”的概率；

（2）B=“有放回取到兩個紅球，一個白球”的概率；

（3）C=“無放回依次取到紅、白、紅三個球”的概率；

（4）D=“無放回取到兩個紅球，一個白球”的概率.

解：（1）這是一個有放回有次序摸球問題.總體包含的基本事件數為73，A包含的基本事件數為42·3.所以P（A）=■=（■）2·■.

（2）這是一個有放回無次序摸球問題.我們所關心的是取出的三個球有兩個紅球和一個白球，它包含C23種可能情形：（紅，紅，白），（紅，白，紅），（白，紅，紅），而每一種情形的概率與（1）中情形一樣，于是P（B）=C23·P（A）=C23·（■）2·■.

（3）這是一個無放回按次序摸球問題.總體的基本事件數為A37，B包含的基本事件數為A24·A13，所以P（C）=■.

（4）這是一個無放回無次序摸球問題.總體的基本事件數為C37，D包含的基本事件數為C24·C13，所以P（D）=■.

2.分球入盒模型

例2.將4個不同的球隨機地分到5個盒子中，有兩種分配方式：（1）每個盒子可容納任意個球；（2）每個盒子最多只能容納一個球.根據不同的分配方式，計算事件A和B的概率：

A={指定的3個盒子中各有1個球}；

B={指定的1個盒子中恰有2個球}.

解：（1）基本事件總數為54，A包含的基本事件數為A34，B包含的基本事件數為C24·42，所以P（A）=■；P（B）=■.

（2）基本事件總數為A45，A包含的基本事件數為A34，B包含的基本事件數為C24·A24，所以P（A）=■；P（B）=■.

例3.將5個不同的球隨機地分到4個盒子中，有兩種分配方式：（1）每個盒子可容納任意個球；（2）每個盒子至少有一個球.根據不同的分配方式，計算事件A和B的概率：A={指定的3個盒子中各有1個球}；B={指定的1個盒子中恰有2個球}.

解：（1）基本事件總數為45，A包含的基本事件數為A35，B包含的基本事件數為C25·33，所以P（A）=■；P（B）=■.

（2）基本事件總數為C25·A44，A包含的基本事件數為A35，B包含的基本事件數為C25·A33，所以P（A）=■；P（B）=■.

一般地，古典概型問題基本上都可歸入上述兩種類型.因此，對于古典概型的概率計算問題，經題意分析，對號入座后按上述方法進行剖析、計算，問題就能順利地解決.

本文內容僅是本人的教與學的反思，作出了對高中古典概型內容的淺顯解讀與對古典概型計算解法的分析與總結，如有不當，請批評與指正.

？誗編輯 趙飛飛