一種橢圓形方程的差分格式及迭代法求解

摘 要：有限差分法是解偏微分方程的一個重要數值方法。對正方形域上的Laplace方程的第一邊值問題用差分法建立了其差分格式，并用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法（SOR法）對該差分格式進行求解。對三種迭代法進行編程并上機實踐，求得相應數值解，通過表格對運行結果進行了比較。

關鍵詞：差分格式；Jacobi迭代法；Gauss-seidel迭代法；超松弛迭代法

一、問題及其差分格式

考慮正方形域上的Laplace方程的第一邊值問題：

uxx+uyy=0，（0

容易驗證方程（1）的精確解為：u（x，y）=■sinπy.

在xoy平面上作兩組平行直線：x=x0+ih，y=y0+jh（i，j=0，±1，±2…）.（x0，y0）是xoy平面上的任意一點，取（x0，y0）為坐標原點（0，0），步長h=■，這樣，整個平面就被這兩組平行直線構成的正方形網格所覆蓋，兩組平行直線的交點稱為網格結點，只考慮屬于正方形區域[0，1；0，1]的結點。若一個結點的四個相鄰接點都屬于[0，1；0，1]，則稱此結點為內部結點；若一結點的四個相鄰結點至少有一個不屬于[0，1；0，1]，則稱此結點為邊界結點。在每一個內部結點上，用二階中心差代替問題中的二階導數：

（uxx）■=（■）■≈■

=■

（uyy）■=（■）■≈■

=■

則有：（■）■+（■）■

≈■

由此得到（1）的差分格式為：uij=■（ui+1， j+ui-1， j+ui， j+1+ui， j-1）.（i，j=1，2，…n-1），其中u（0，y）=u（x，0）=u（x，1）=0，u（1，y）=sinπy.

二、三種迭代方法及收斂性比較

對線性方程組Ax=b，系數矩陣A=（aij）n×n非奇異，且A的主對角元aij≠0（i=1，2…n）.

1.Jacobi迭代法

將A分裂成A=D-（D-A），其中D=diag（a11，a22…ann），于是方程Ax=b可以寫成Dx=（D-A）x+b或x=（E-D-1A）x+D-1b （2）

令B=E-D-1A，g=D-1b，則（2）可寫成：x=Bx+g

這樣得到了迭代公式：

xk=Bxk-1+g（k=1，2…） （3）

2.Gauss-Seidel迭代法

將A分裂成：A=D（E-L）-DU

其中：D=diag（a11，a22，…ann），

L=0 0 … 0 0-■ 0 … 0 0-■ -■ … 0 0 … … …-■ -■ … -■ 0

U=0 -■ … -■ -■0 0 … -■ -■ … … …0 0 … 0 -■0 0 … 0 0

對比（2）和（3）則得出：B=L+U

于是方程Ax=b可以寫成：D（I-L）x=DUx+b （4）

顯然D和I-L都是非奇異的，因此可以用（I-L）-1D-1左乘上式的兩端，得出：

x=（I-L）-1+Ux+（I-L）-1D-1b

由此得Gauss-Seidel迭代法的迭代公式：

■

由此可見Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的修正。

表1 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法收斂速度的比較

■

續表

■

其中誤差容限TOL取0.5E-8，π取3.1415926。由表1的結果可知，Jacobi迭代法比Gauss-Seidel迭代法迭代公式簡單，但收斂速度比Gauss-Seidel迭代法慢。當剖分網格加細即N增大時，誤差隨著減小，迭代次數相應增大，所得結果在誤差范圍內，基本達到要求，驗證了該方法的可行性。

3.SOR迭代法

令：■

■ （6）

引入了中間變量■，ω為松弛因子，當ω=1時，（6）即為Gauss-Seidel迭代法。

把（6）中的中間量■消去，可得SOR迭代法的迭代公式：

■

三、三種迭代法的解與準確解的比較

表2 N=6，ω=1.4，迭帶次數k=20時的解及誤差

■

從表2可以看出，SOR迭代法收斂速度最快。在實用中我們更多地采用SOR迭代法，其收斂速度與ω有關，而松弛因子ω的選擇有賴于實際經驗。

參考文獻：

[1]林成森.數值計算方法：下[M].科學出版社，1997.

[2]李榮華，馮果忱.微分方程數值解法[M].3版.高等教育出版社，1995.

？誗編輯 趙飛飛