讓“數(shù)學(xué)形象化”的一些具體做法

一、賦予數(shù)學(xué)問(wèn)題具體的生活背景

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門抽象而邏輯性又極強(qiáng)的一門學(xué)科。那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重視數(shù)學(xué)的抽象公式以及高度抽象化的公理、定理、推論等。這些固然非常重要，但是我在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與教學(xué)中始終覺(jué)得我們不管是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是教數(shù)學(xué)時(shí)常常合理而又適時(shí)地運(yùn)用一些比較形象化以及具有一定的實(shí)際背景的模型來(lái)適時(shí)打比方、舉例子。

下面我結(jié)合自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及教學(xué)中的一些實(shí)例，淺談一下自己的感受。

例1.用實(shí)際例子說(shuō)明y=10+2x，x∈[0，5）20，x∈[5，10）40-2x，x∈[10，20]所表示的意義

【簡(jiǎn)析】：給變量賦予不同的內(nèi)涵，就可得出函數(shù)不同的解釋，我們從物理和經(jīng)濟(jì)兩個(gè)角度給出實(shí)例。

1.x表示時(shí)間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開(kāi)始計(jì)時(shí)后質(zhì)點(diǎn)以10 m/s的初速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為2 m/s2，5秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以20 m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，10秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以-2 m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到20秒末停下。

2.季節(jié)性服飾在當(dāng)季即將到來(lái)之時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)某服飾開(kāi)始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，5周后開(kāi)始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售，10周后當(dāng)季即將過(guò)去，平均每周削價(jià)2元，直到20周末該服飾不再銷售。

函數(shù)概念的形成，一般是從具體的實(shí)例開(kāi)始的，但在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，往往較少考慮實(shí)際意義，本題旨在學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)給出函數(shù)的實(shí)際解釋，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的一般性和背景的多樣性。這是對(duì)問(wèn)題理解上的開(kāi)放。

從上面的這些例子，無(wú)疑我們可以看到在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算與思維過(guò)程，同時(shí)也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決較為復(fù)雜的問(wèn)題的興趣。

二、賦予數(shù)學(xué)問(wèn)題一些跨學(xué)科背景

例2.已知a，b，m都是正數(shù)，并且a■

【簡(jiǎn)析】：除教材介紹的方法外，根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，改變一下考查問(wèn)題的角度，或同時(shí)對(duì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合，可獲得如下思路：兩點(diǎn)（b，a），（-m，-m）的連線的斜率大于兩點(diǎn)（b，a），（0，0）的連線的斜率；b個(gè)單位溶液中有a個(gè)單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個(gè)單位溶質(zhì)后的濃度；在數(shù)軸上的原點(diǎn)和坐標(biāo)為1的點(diǎn)處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心，位于分別放置質(zhì)量為m、b的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心的左側(cè)等。

例3.在半徑為15 cm的均勻鐵板上，挖去一個(gè)圓洞，已知圓洞的圓心和鐵板的中心相距8 cm，圓洞的半徑是5 cm，求挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心。

【簡(jiǎn)析】：如圖1，以鐵板中心O1為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為O′（x，0）及圓洞中心O2，如果在O′（x，0）處給一個(gè)支持點(diǎn)，根據(jù)重心原理，剩下的鐵板應(yīng)該處于力的平衡狀態(tài)，即其余各力的力矩和應(yīng)為0，則

■

圖1

│F1│·│O′O1│-│F2│·│O′O2│=│0│

這里，│F1│=π×152 │F2│=π×52

│O′O1│=x│O′O2│=8+x

代入（*）得，x=-1

∴挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為O′（-1，0）

【評(píng)析】：這實(shí)質(zhì)上是一道物理題的“變題”，利用“物體在平衡時(shí)，力矩和為0”來(lái)解題，這里力矩就一個(gè)向量，正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為一門“工具性學(xué)科”的基礎(chǔ)用途。

高中新教材在引入向量以后，使得平面幾何和空間幾何中許多定理、公式及一些相關(guān)問(wèn)題變得直觀、淺顯、易理解。教材還通過(guò)布置一定量的“實(shí)習(xí)作業(yè)”“研究性課題”等實(shí)踐內(nèi)容讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力的目的，這也是高中新教材改革之宗旨和目標(biāo)。可見(jiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題已經(jīng)成為教學(xué)的一個(gè)要求，數(shù)學(xué)不再只是抽象的問(wèn)題，而是建立了實(shí)際背景。

三、賦予數(shù)學(xué)問(wèn)題跨學(xué)科內(nèi)部的知識(shí)背景

例4.解關(guān)于x的不等式：■≥a-x

【簡(jiǎn)析】：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖2：

■

圖2

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=■和y=a-x的圖象，

以L1，L2，L3在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn)，知：當(dāng)a≤-1時(shí)；-1≤x≤3

當(dāng)-1

當(dāng)3

當(dāng)a>1+2■時(shí)，不等式無(wú)解。

通過(guò)上題我們可以看到，在解決一些代數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果能找到它的幾何背景將大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，使我們從無(wú)所下手到得心應(yīng)手順利地解決掉一些復(fù)雜的問(wèn)題。

以上是我在教學(xué)工作中的一點(diǎn)體會(huì)，我覺(jué)得作為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)多與實(shí)際相聯(lián)系，將一些抽象的概念具體化，讓學(xué)生更容易理解接受并形成深刻的印象。同時(shí)我們?cè)诮忸}過(guò)程中如果能夠正確引入具體實(shí)例背景可能對(duì)解題大有幫助。

？誗編輯 溫雪蓮