關于反證法在數學分析中的應用分析

摘 要：牛頓說過：“反證法是數學家最精當的武器之一。”反證法是從結論入手進行反面思考，使問題的解決變得更加簡單。反證法在數學中有著廣泛的應用，反證法是一種重要的數學工具。反證法是一種間接證法，其中的精髓在于采用逆向思維，反證法的核心是否定題設找矛盾，怎么去找矛盾，這是反證法的關鍵，也是它的難點，從而確認命題的真實性。然而，一般人都比較習慣正向思維，利用反證法的時候非常吃力，甚至會不習慣，然后就避而不用。反證法在一些數學證明題當中是一個很好的方法，教師一定要掌握其要領，對學生加強逆向思維原則的教育，培養學生思維的靈活性、創造性。

關鍵詞：反證法；數學分析；逆向思維

反證法的發現是人類文明史上的一個偉大而又深刻的結晶，在數學的發展中功不可沒，早在很多年以前，古希臘數學家歐道克斯利用反證法發現了無理數，羅巴切夫斯基發現非歐幾何學，從一定的精神層面上來說，總結了用反證法證明平行公理失敗的教訓，從中得到啟示的結果。反證法不但在數學的發展和證明中起著相當大的作用，而且在學習、領會和深入對數學進行鉆研時，也離不開反證法，反證法可以解決我們生活中的很多難題，總之，用反證法證明一個真命題，最后一定要出現矛盾，或者導致題設自相矛盾，或者出現一個自相矛盾的結果。

一、反證法的基本思想和適用范圍

1.反證法的基本思想

反證法是一種間接證明的方法，它的核心就是否定原命題，把結論當成題設，驗證是否與之前相矛盾，基本過程是“否定—推理—矛盾—肯定”。這種方法在很大程度上幫助我們解決了很多用直接思維法解決不了的問題，但是這種方法同時也很難被初學者理解，所謂反證法就是通過證明論題的否定論題錯誤而肯定論題的方法，這種方法在解題的過程中一般分為三個步驟：（1）假定原命題的結論不成立；（2）將命題的結論當成題設，進行證明；（3）得出結論，及命題的結論是否正確。通常來說，如果命題的結論不容易直接進行證明，結論本身卻很容易被判定，這時候采用反證法是最明智的選擇。

2.反證法的適用范圍

反證法雖然是在平面幾何中出現的，但是對于數學的其他方面，比如在代數、三角、解析幾何等很多方面都有著廣泛的應用，但是反證法的適用范圍一般有以下幾個方面：

（1）否定性命題，即結論以“沒有”“不是”“不能”等形式出現的命題，直接證法一般比較困難，這時采用反證法將會事半功倍。

（2）限定式命題，即結論中含有“至多”“至少”“最多”等詞語的命題，這種命題如果用直接法來求解，工程量是相當之大的。

（3）無窮性命題，即題設中涉及各種“無限”字眼的命題。這種題目如果說是按照我們正常的思維直接進行論證時相當困難，因為題設的條件本身就比較寬泛，這時候應用直接法求解，無疑是大海撈針。

（4）某些存在性命題，例如很多題目會讓你證明，對于任意的實數，存在一個等式恒成立，這時候用反證法不失為一種上上策。

（5）全稱肯定性命題，即結論以“總是”“都”“全”等出現的，這種肯定性命題可以采用反證法來做解答。

（6）不等量命題的證明，例如不等式的證明，用到最多的也是最快捷的方法就是反證法，一般我們會從命題的對立面入手，這樣可以簡化題目本身的難度。

二、反證法應用過程中的注意事項

首先，正確否定結論是應用反證法的首要問題，必須正確地對結論進行否定，這樣才能為下一步的論證打好基礎；其次，必須明確推理的特點，在應用反證法推理題設的結果之前，不要事先就否定結論，或者肯定結論，任何論證都應該在脫離人的主觀臆想之后才能進行的，不然只能得出錯誤的答案，與真相背道而馳。

綜上所述，反證法是數學中一種重要的證明方法，是數學家的“最精良武器之一”，在許多方面起著不可替代的作用，反證法在數學問題中應用得最為廣泛和巧妙，這種方法要是應用得好的話可以解決實際生活中其他的難題，反證法的精髓就在于，我們要試著逆向思維，有的時候應用逆向思維解題速度和質量將會大幅度提升，這不僅節省了我們的時間，提高了我們的效率，而且在一定程度上可以培養我們思考問題的方式，要從多方面、多角度來看待這個問題，有的時候，只要是換一個方向，你將會得到截然不同的效果，“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。”事物本身就是具有多面性，這就要求我們人類要從不同的角度來審視這個問題，雖然反證法的應用對于大多數人來說比較吃力，但是只要我們在這方面多下工夫，就一定能夠達到精巧、嚴謹的程度，這在一定程度上對于提高我們的數學解題能力有著非常大的幫助。

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？誗編輯 溫雪蓮