對數學建模方法及其應用的研究

摘 要：以往的數學教學只注重對學生運算能力的訓練，卻忽視了對其邏輯思維能力的培養。數學模型可直接或間接地描述自然現象和人文現象，因此數學模型可幫助人們對事物有更加直觀、清晰的認識。對新課程改革來講，培養學生的數學建模能力將有助于提高學生的邏輯思維能力，使其對數學方法有更加深入的了解。

關鍵詞：集合模型；方程模型；幾何模型

數學模型通過數學方法，可將需要解決的實際問題轉化為熟知的數學知識，建立數學模型可簡化運算過程，幫助學生快速求解出答案。本文主要分析了數學建模的內涵以及數學建模的一般步驟，并以集合模型、方程模型、幾何模型為例，闡述具體的建模方法及其應用實踐。

一、數學建模內涵

所謂數學建模，即根據某種具體事物的特征和其與數量之間的依存關系，利用更加直觀、形式化的語言，將其概括為一種數學結構的過程。一切數學概念，包括數學公式、方程、算法等都可以稱之為數學模型。如圓錐體的概念就是數學模型，圓錐體本身是自然界中物體的一種表現形式，但是利用數學建模就可以將其轉化為一種直觀的數學表述，并可在此基礎上進行數學運算。再如數學教材中關于數量關系的運算，三棵樹與七棵樹合起來就是十棵樹，轉為化數學模型就是“3+7=10”。數學建模過程是為解決問題所構造出的一種模型表現，利用數學模型可快速解決實際問題。

二、數學建模的一般步驟

數學建模主要包括三個步驟：第一步是根據需要解決的實際問題選擇合適的數學模型類型，如求解物體表面積就需要選擇幾何模型，求解數量關系就需要選擇方程模型；第二步是將實際已知的信息應用在數學模型上并進行推理和演算，得出答案；第三步是將所得答案應用在原實際問題中，即實際檢驗。

三、常見的數學建模方法及其應用

1.集合模型建模方法及其應用

集合模型建模過程就是將已知條件中的關系看作集合之間的關系，借助集合的交、補、合并原理和計算方法求出答案。如某舞蹈隊共45人，其中，20人參加拉丁舞排練，10人參加民族舞排練，只有1人既參加了拉丁舞排練也參加了民族舞排練，那么只參加拉丁舞排練的有多少人？沒有參加任何一種舞蹈排練的有多少人？從題干描述可以得知，拉丁舞排練人數與民族舞排練人數之間產生了交叉，可借助集合模型進行求解。我們以長方形的平面部分表示整個舞蹈隊人數，用A圈表示參加拉丁舞排練的人數，用B圈表示參加民族舞排練的人數，A圈與B圈之間的交集表示同時參加兩種舞蹈排練的人數，長方形內A圈和B圈之外的陰影區域則表示兩種舞蹈排練都沒有參加的人數。從建立的數學集合圖形中我們可以得出，只參加拉丁舞排練的人數為：20-1=19（人），沒有參加任何一種舞蹈排練的有：45-（19+10）=16（人）。

2.方程模型建模方法及其應用

方程建模的目的在于降低實際問題的解決難度，避免受到逆向思維的影響。如某校外活動小組組織52人參加公園劃船活動，大船和小船共租了11條，每條大船上可以坐6人，每條小船上可以坐4人，那么該活動小組租了幾條大船幾條小船？從題干描述中可以看出，從已知條件到未知條件的求解是一個逆向思維的過程。因此可以設大船有x條，坐大船的有6x人，那么小船有（11-x）條，坐小船的就有4（11-x）人，已知該活動小組共有52人，那么可以構建下列方程：6x+4（11-x）=52，通過運算解得x=4，因此大船有4條，小船有（11-4）=7條。

3.幾何模型建模方法及其應用

幾何建模的目的在于通過構建熟知的幾何模型，將實際問題轉化為關于形的問題，根據具體的形的性質，簡化問題解決過程。如某實驗容器中含有某種A物質溶液，加入一杯水稀釋后，容器中A的濃度為25%，隨后再加入一杯物質A，容器中的物質A濃度為40%，那么容器中原有物質A溶液濃度是多少？從題干描述可以得知，已知條件中既有未加入水之前的物質A溶液，也包括加入水之后的物質A溶液和再次加入A之后的物質A溶液。將加一杯物質A之后的溶液分成10份，其中有4份為物質A，其余6份為水，根據上述轉化可以用小方塊表示物質A，用小圓圈表示水，將小方塊和小圓圈分別列出。加入物質A之前，物質A的濃度為25%，那么物質A和水之間的比例為1∶3，也就是2個方塊和6個小圓圈，那么加入一杯物質A就是2個小方塊，因此原始容器中有2個小方塊和6個小圓圈，6個圓圈也就是三杯水，那么物質A濃度為：2÷（2+4）×100%≈33.3%，容器中原有物質A溶液濃度約為33.3%。

利用數學建模方法解決實際問題，需具備抽象能力、轉化能力、運算能力和實踐檢驗能力等多方面綜合能力。本文通過具體分析幾種常見數學模型的建模方法及其應用方法，不僅展現了數學建模方式在解決實際問題方面的快速有效，也提示廣大數學教師在進行數學建模能力培養時，應當指導學生多接觸一些實際問題，培養其數學建模方法的應用能力。

參考文獻：

張靖侖，袁詩萌.以存貯模型為例淺談數學模型在經濟學中的應用[J].經濟師，2013.

？誗編輯 趙飛飛