淺談對任意角三角函數概念教學的思考

摘 要：數學概念是數學認知的開始，貫穿整個相關知識體系的學習。在技工學校的數學教學中，任意角三角函數是教學的重點，也是難點。針對任意角三角函數的概念教學進行探討。

關鍵詞：函數；任意角三角函數；概念教學

數學概念的敘述語言雖然直接簡練，但是包含了豐富的數量關系和空間形式，是事物本質特征、內在聯系及規律的概括。任何一種認知的開始即是對概念的理解。教學中概念教學將會直接影響學生后續知識的學習和能力的形成。基于以上認識，教學中加強了對概念教學的重視，本文將結合實踐教學中的情況對任意角三角函數基本概念的教學作一些分析、探討。

一、任意角三角函數與函數

任意角三角函數是常用的周期函數，是繼函數概念后學習的具體函數，但由于三角函數特殊的運算符號，及課本所給的形式是：sinα=■，cosα=■，tanα=■，大部分學生在學習過程中認為和前面所學函數y=f（x）的表達形式不同，懷疑這樣的函數和前面所學的函數真是一個概念嗎？由于學生在學習前面的函數概念時，習慣用x解析式表示y的函數，當看到課本所給的不太一樣的形式時，比較難確定是怎樣的函數關系。即使知道具體是角與比值之間的函數關系，也較難將這抽象的概念形象具體化并靈活運用。因此，教學中要從感性的實際周期函數例子到一般抽象的函數形式逐漸深入教學，展示出三角函數概念的由來，讓學生能夠切實體會到三角函數的實際意義，明確三角函數的變量是角度和比值之間的函數關系，反映的是周期變化情況。當能理解角度與比值的關系，自然就能明白用單位圓定義的三角函數，靈活計算出任意角的三角函數值，體會到任意角的三角函數是一種特殊的函數關系，最終加深對函數的理解，形成一定的概念體系。

二、明確任意角的三角函數有六種表達形式

任意角的三角函數有六種表達形式，勞動版技工學校現使用的數學課本只提到較常用的三種，對于技工學校所教授的專業程度來講，這已經足夠。不過實際上，x、y、r這三個量之間的比值有六個比值，分別是■、■、■、■、■及■，故角的變化會引起六個比值的不同，也就有六種函數形式。雖然學生能夠根據學習前三種函數的方法去理解掌握后三種函數，但在實際教學中教育者仍要明確六種表達形式，要知道若想幫助學生進一步認知這一概念，就有必要對概念的外延做必要講解。否則，學生會認為課本所給的三種函數表達形式就是三角函數的全部，遇到其他的表達形式會產生懷疑，畢竟課本上沒有給出三種之外的其他形式，且在做相關練習時，會下意識地將計變量上下顛倒來計算比值，造成答題錯誤。所以教學中應該充分揭示概念的內涵與外延，明確六種表達形式和它們的形式特點，以便學生靈活解決遇到的各種問題。

三、對比銳角三角函數和任意角三角函數

銳角三角函數和任意角三角函數的函數名相同，表達形式一樣，形成過程也非常相似，且學習任意角三角函數之前，學生已經學習銳角三角函數，習慣在直角三角形中的對邊、鄰變和斜邊，致使學生容易產生混淆，將任意角的三角函數也說成這三邊之間的比值，疏于考慮三角函數值的符號，運用概念時產生負遷移，造成解題錯誤。且受先入為主的影響，學生會產生這樣的疑問：為什么可以將銳角三角函數的定義用于任意角的三角函數？既然是這樣，怎么還這么麻煩地將對邊、鄰變和斜邊改成x、y、r。由于初次學習，很容易就忽略銳角是第一象限角，x、y的取值都是大于零的，而鈍角則是第二象限角，x的取值是小于零的，比值出現有負數。學習中，他們很快便能感知到銳角三角函數和任意角三角函數的相似，卻較難清晰地理解兩者的連續與區別。注意引導學生對比兩者的概念，防止產生負遷移是任意角三角函數概念教學的關鍵。

四、正確運用概念

學習概念最終目的是運用概念為我們的學習、生活和生產所用，所以在向學生講解完基本概念后，要采取多種形式，幫助學生多次復習已經學習的概念，并通過多種途徑去引導學生靈活運用概念，解決遇到的實際問題。只有這樣做才能體現課堂教學的真正意義，同時通過多次反復的運用概念，可以使學生加深對概念本身的理解，更好地掌握概念。

要使學生能正確運用概念，我認為應注意引導學生運用概念去分辨出數學對象的不同屬性，抓住對象的特點，發現其本質。所以三角函數雖有六種形式，但每種形式特點不同，能解決的對象也不一樣，俗話說：“兵來將擋，水來土掩。”抓住事物的本質才能解決好問題。

五、為后續教學做好鋪墊

概念教學只是任意角三角函數教學的開始部分，后續還有三角函數關系、誘導公式、圖象等，這些教學都要以基本概念作為基本認知。例如，任意角的三角函數關系，根據概念中的比值：■、■、■，我們就可以推斷出：sinα·cosα=1、tanα=■等基本函數關系。而在誘導公式教學中，學生不僅要理解概念，還要能夠用動態的觀點去看待平面直角坐標系上角的變化，畫出任意角的終邊位置，準確判斷取值的符號，懂得終邊相同的角，可以歸納出一般形式，這么多能力要求不可能一次課便能掌握到位，概念教學時就可以引導學生掌握終邊相同角、取值符號等知識，這樣會使教學前后呼應，更具連貫性，學生的學習也會相對變得容易。

任意角的三角函數運用廣泛，其概念教學較具現實意義，教學中不僅要遵循概念教學的一般要求，還應該注意教學與實踐的結合，避免形式化地去講解概念。教無定法，使用不同途徑和教學方法來達到更好的教學效果，實現教學目的，是教育工作者不斷努力追求的目標。

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？誗編輯 孫玲娟