新形勢下提升高考數學填空題的解題能力

摘 要：在高考數學的考試題型中，填空題已經成為一種固定的試題類型，也是必考題型。但是針對考試的內容來說，難度系數較大，牽扯的知識體系較為繁瑣，容易出現失誤和過錯，一定程度上影響了學生的考試成績。教學實踐證明，完勝高考數學題必須在掌握一定基礎知識的基礎上革新思維，探究有效的解答策略，巧用知識遷移，這樣才能提升解答填空題的速度和正確率。

關鍵詞：填空題；解答效率；路徑

一、理論角度詮釋提升高中數學填空題的方法

一般來說解決的方法有：直接法：從問題出發，利用學過的數學定理、公式、定義等，經過問題處理或者知識遷移進行推理計算出問題的答案；特殊化法：在解答的時候就可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值進行解析，這樣也能得到答案。另外，還有一種數形結合思想，就是把含有數學幾何中的問題，依據給出的已知條件畫出相應的圖形，實現問題解答中數中有形，做到以形助數。除上面論述外，還有等價轉化法/構造法和分析法等。

二、提升高中數學填空題解答效率的經典案例探究

經典案例1：如下圖在坐標系中表達的數量關系，A1，A2，B1，B2是■+■=1（a>b>0）這個橢圓的四個頂點，其中圖上點F表示的就是橢圓的右焦點，T點就是A1B2與B1F兩條直線的交點，線段OT與橢圓的交點恰為線段的中點，求離心率（ ）。

對于橢圓來說，高中數學對其考查的內容和形式都是十分頻繁的，并且有的時候會牽扯到其他知識點，這需要學生必須給予重視。針對本案例考查的知識點來說，需要學生對橢圓有一個全面的認知，因為此試題主要考查的內容包括橢圓的基本性質，如頂點、焦點坐標、離心率的計算以及直線的方程等，這就可以運用直接法進行解答。

直線A1B2的方程為：■+■=1；

直線B1F的方程為：■+■=1。

二者聯立解得：T（■，■），

則M（■，■）在橢圓■+■=1（a>b>0）上，

■+■=1，c2+10ac-3a2=0，e2+10e-3=0，

解得：e=2■-5。

經典案例2：若AB=2，AC=■BC，求S△ABC的最大值。

從題干中可以看出，問題主要考查的知識點就是關于三角形的面積、余弦定理以及函數等，可以說是一道比較具有綜合性的考題。按照常規的解題思維來求解的話，計算量比較大，并且由于給出的數字關系量很難得出正確答案。我們就可以換個角度去思考，選擇轉換值代入法進行解析。高中數學考查的試題當中，如果有的量是未知的或者是不確定的，不是觀察或者找到的，但問題的最終答案又是一個定值的話，不妨采取將變量取一些特殊數值、特殊位置等來處理，這樣就很容易找到問題的切入點來解答問題了。

設BC=x，則AC=■x，

根據面積公式得S△ABC=■AB·BCsinB=x■，

根據余弦定理得cosB=■=■=■，

代入上式得S△ABC=x■=■，

由三角形三邊關系有■，

解得2■-2

故當x=2■時，S△ABC取得最大值2■。

經典案例3：將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=■，則S的最小值是______。

針對高中的復雜填空題，特別是牽扯到一些較為繁雜的三角函數、幾何知識的時候。為了簡化計算過程，可以巧用圖形就行求解，圖形可以很直觀很簡單地呈現問題，然后依據圖形就可以很簡便地得出問題答案了。本題給出的已知條件較少，看上去問題很簡便，但是不易下手，這就可以勾畫相關的圖形來輔助解題。

如圖，△ABC是邊長為1的正三角形，EF∥BC，四邊形BCFE為梯形；設AE=x（0

S=■=■ （0

對S（x）求導，令S′（x）=0，聯系00，

所以x=■時S（x）有最小值S（■）=■。

經典案例4：已知3f（2x2-1）+2f（1-2x2）=4x2，求f（x）是（ ）

從題目來看，比較復雜，按照傳統的按部就班的思想解題的話，計算量較大并且不易求解。利用化歸思想，就可以化繁為簡，把復雜的問題簡單化，簡易問題的處理方法，從而求解。具體來說，從給出的已知信息來看，可以令2x2-1=y則原式就可以簡單地轉化為3f（y）+2f（-y）=2y+2，再由新條件等式中f（y），f（-y）的特殊關系，再等式以-y代y，會得到另一個關于f（y），f（-y）的等式，最后我們通過解方程組求得f（x）。這樣就可以實現問題的成功轉化，簡化了問題分析和計算的過程。

解：令2x2-1=y，

原式為：3f（y）+2f（-y）=2y+2，

以-y代y

得：3f（-y）+2f（y）=-2y+2，

則■

3×①-2×②，得f（y）=2y+■，

即f（x）=2x+■。

參考文獻：

[1]王紅明.高考數學填空題解題錯誤的歸因及對策研究[J].新課程學習，2013（4）.

[2]位士花.高中數學填空題具體案例的解析[J].數理化解題研究，2014（8）.

？誗編輯 孫玲娟