伯努利兄弟（下）

（續上期）牛頓和萊布尼茨爭的是微積分發明的優先權的大問題，而伯努利兄弟爭的則是相對次要的小問題：所謂的“最速降線”問題.這個問題大致是說，一個光滑小球在一定高度上沿著一條光滑曲線降落到地面上，它沿著什么樣的曲線降落時間最短（如圖1）？憑直覺，似乎沿直線下降所用的時間最短.不過，那可大錯特錯了.這說明從常識出發、憑空想象所得到的判斷往往不靠譜，從一點到地面的曲線數不勝數，隨便想一下就知道有一段拋物線，一段艤曲線弧，等等.伽利略也曾研究過這樣的問題，他說應是一段圓弧，看來，這個問題在當時還一直沒有得到解決.于是約翰在1696年的《博學者學報》上把它提了出來，并向世界上的所有學者發出了挑戰.當時，約翰可能已經有了一種解法，他是想借此向大家顯示自己有多么了不起.1697年5月，《博學者學報》發表了五位學者的正確答案——一段旋輪線（也叫擺線）.這五位學者是牛頓、萊布尼茨、雅各、約翰以及羅比達，他們可以說是17世紀末懂得微積分的僅有的五個人，但是，這個問題的真正意義是由此開創了比微積分更高深的一個數學分支——變分法.

其實，約翰提出這個問題是他和萊布尼茨早就商量好的，要故意難為別人的.萊布尼茨當然是針對牛頓的，當時，他們有了解法后，萊布尼茨勸約翰暫時不要發表，為的是難倒牛頓，以此表明自己的水平在牛頓之上.沒想到，牛頓雖然很晚才知道這個問題，但他一晚卜.就把它給解決了.約翰則是想向他哥哥發出挑戰.不管怎樣，雅各也獨立地得到了自己的解法.至于羅比達嘛，他可能有約翰的幫助吧……

這回輪到雅各向約翰反擊了.在雅各論文的最后，他又提出了三類變分法的問題，其中要涉及到一個復雜的等周問題.雅各甚至指名道姓地向約翰提出挑戰：如果約翰能在年底之前解決問題，那么就給他高額獎金！

年輕的約翰心浮氣躁，還沒看清問題的復雜性就提供了一個不完整的答案.雅各眼見弟弟中了招，心中暗喜，趁機狠狠地把他批判了一番，約翰只好仔細地重新再來.1701年，他們分別把自己的答案奇給了不同的刊物.雅各的論文很快就發表在了《博學者學報》上，而約翰寄給巴黎科學院的論文卻直到1706年4月才被發表，這時雅各已經去世了.

學者之間的爭斗，往往是長壽的一方更占便宜雅各只活了50歲，而約翰活到了80多.哥哥去世后近40年間，約翰總是抬高自己而極力貶低不能再張口辯解的哥哥.由于約翰的舉動太過分，致使許多人對他產生了反感.但不管怎么說，一直到最近，仍然有不少科學史專家在研究這個“兄弟之爭”，

一個巴掌拍不響，雅各和約翰固然各有各的缺點，有位數學史專家說雅各“任性、頑固、好爭斗、報復心強”，這也許不錯.但約翰好斗的程度絕對超過他哥哥，因為雅各的對手寥寥無幾，而約翰幾乎同所有的人都斗了個遍.雅各還在世時，約翰就已經同羅比達不和了，在羅比達和雅各先后去世之后，約翰義開始攻擊英國數學家泰勒，引起泰勒的反擊.閃人打了十幾年的口水仗，直到1731年泰勒去世.泰勒一死，約翰就刻薄地說：“泰勒死了，我的對手們都死在了我的前頭，還都比我年輕，這真是天意！在過去的15年中，泰勒是他們中的第六個……他們都攻擊我、激怒我……”現代心理學也許能解釋約翰的性格：由于哥哥妹妹太多，他沒有得到過足夠的父愛，也沒有受到家里的重視，再加上哥哥的成就，嫉妒之心于是便不可遏制了，約翰十分自大，而且過于自負，脾氣暴躁，如果只是好斗，那還情有可原，可是他竟然經常撒謊，而且喜歡夸大其詞，甚至去抄襲他兒子的著作，這就不呵原諒了，

對于科學家來講，不管個性中有多少缺點，學術成就當然還是算第一位的.雅各面廣，約翰量多.從歷史上看，開創性的工作是最重要的.在這方面，雅各具有獨到的優勢，與微積分平行發展的概率論，費馬、帕斯卡、惠更斯等人都進行過研究，也都取得了一定的成就，但這些成就不能與微積分相提并論.一門數學學科差不多都是這樣形成的：一開始有些難題，一般人肯定解不了，只有少數的天才能取得突破，于是乎他們成了這門學科的奠基人.但是一門學科的正式建立，往往需要去證明一個所謂的大定理，有時也稱為基本定理，例如有代數學基本定理，微積分基本定理（這是由牛頓和萊布尼茨各自獨立建立的）等.而概率論的基本定理——大數定律，可是由雅各一手創立的，在這方一面，約翰沒有份兒，其他人也沒有異議.但足，大數定律的發表與兄弟兩人的相爭卻有關系.

數學上的爭淪，結果往往都是負面的.雅各在去世前兩年寫了概率論的一本重要著作，書名叫《猜度術》.雅各去世時，手稿已接近完成，如果家庭關系正常，約翰應當是最有條件負責它的出版事宜的.可這倆兄弟關系不好路人皆知，而且雅各去世之后，約翰很快就同到了巴塞爾，并且繼承了大學數學教授的席位.小小的巴塞爾現在變成了約翰的一統天下.雅各的遺孀深知這位兄弟的脾氣，因此就把手稿藏匿了起來，沒有發表.但是，雅各曾將他的主要思想告訴過他的侄子尼古拉（約翰的兒子也叫尼古拉，但與這個尼古拉不是一個人，許多書和文章把他們搞混了）.尼古拉的父親是雅各的弟弟，也是約翰的哥哥，他不是數學家，但同雅各的關系還可以.他的兒子尼古拉，接受并傳播雅各的思想.這樣，在尼古拉的協助下，這份手稿終于出版了，這時距離作者去世已經整整八年.《猜度術》雖然推遲出版，但終究得以問世，不能不說是一種幸運，要是再拖下去，這個被雅各稱為主定理的大數定律，恐怕就會落在別人的名下嘍.

好奇的同學一定想知道什么是大數定律吧，這說來也不難懂.你一定見過一角錢的硬幣吧，我們可以把有l的那面稱為正面，把另一面（有花兒的）稱為背面，在許多情況下，我們要靠投硬幣來做決定，甚至決定勝負.如果你喜歡看足球，就知道一開場裁判足靠擲硬幣來決定兩隊在哪邊的.如果不弄虛作假，誰也不知道投出的結果是正面還是背面，有一半的機會會得出正面，也有一半的機會會得出背面.這個1/2就是數學中的“概率”.同樣的道理，在擲骰子時，得出1點（或其他某點）的概率是1/6.當然，1/2也好，1/6也好，這都不是實際進行試驗的結果，若真正進行試驗，則既可能得出正面，也可能得出背面，要是擲十次，一般也不一定正好是五次正面和五次背面，而且十次都是正面的可能性也是存在的，我們把“”稱為“頻率”.你一定會想到，當投擲的次數越多時，頻率也就會越接近概率，即1/2.這就是大數定律.可這只是想當然得出的，實踐是檢驗真理的標準，你可能想去真正做做試驗來檢驗一下.歷史上有許多人干過這事兒，其巾有不少人還足大科學家呢.這里簡單說一下他們得到的結果，

法國大科學家布封曾讓一個小孩向空中擲硬幣4040次，擲出正面2048次，擲出正面的頻率約為0.507.

英國數學家德·摩根讓學生試驗，擲4092次，擲出正面2048次，擲出正面的頻率更接近1/2.

英國統計學家卡爾·皮爾遜親自動手，擲硬幣12000次，擲出正面6019次，擲出正面的頻率約為0.5016.后來又擲24000次，擲出正面12012次，擲出正面的頻率為0.5005，更接近概率1/2.

這就是概率論的第一個偉大的定理，不過，你用的硬幣和骰子必須是“均勻”的才行，而且每次試驗要在相同的條件下獨立進行.還有一件事特別值得注意，就是頻率與概率的偏差在有限次試驗中并不一定是越來越小的.

（全文完）