有關一次函數的早期探索

世界上的事物均在不停地運動和變化著，我們可以用函數關系來表示這種種的變化狀態.其中最簡單的一種變化形式是線性關系，即隨著白變量的增加其函數值也隨之增加（減少），此乃所謂的一次函數（含正比例函數）.一次函數概念源于對不定方程的研究和平面直角坐標系的建立，由于古希臘數學家丟番圖（約246-330）已對不定方程有了相當多的研究，故一次函數的“萌芽”在古希臘后期就已經出現了，然而，正是平面直角坐標系的創立，方使得平面上的點與有序實數對（x，y）、方程和曲線（包括二元一次方程與一次函數）之間建立了一一對應的關系，

一 中國古代的坐標系和一次函數

伏羲是神話傳說中的中華民族的人文始祖，他創造了文字，結束了“結繩記事”的歷史，并據天地萬物的變化創造了占卜八卦，開啟了中華民族的文化之源.研究表明，伏羲創立了世界上最早的直角坐標系：兩儀、四象與八卦.兩儀是指一個數軸，陽爻為正，陰爻為負，陰陽交界處為原點，稱之為“無極”；四象是巾兩個坐標軸分成的四個象限；八卦則指空間的八個卦限.

一次函數關系最早出現在班昭（約49-120）所編撰的《漢書》之中.班昭是中國有史記載的第一位女數學家，其兄班固（約32-92）著有《漢書》，但術完成擬定的八表和《天文志》就去世了.為了完成班同的遺愿，漢和帝敦請班昭續寫《漢書》、編撰年表.在其中一個年表中，班昭將2000多個傳說人物和歷史人物按照9個品德級別進行了排列，她用矩形水平的一邊作一軸，來表示時間跨度：用矩形豎直的一邊作另一軸，表示人物的品德等級，故可以說班昭是創立了第一個直角坐標系的人，按照班昭的人物排列方式，古人的品德等級近似地形成為一條直線（即一次函數的圖象）.其研究表明，越遠古的人物其品德越是高尚.

班昭是我國古代四大才女之一，漢和帝曾多次宣召其入宮，并讓皇后和貴人們拜其為師，尊稱“大家（gu）”.每逢各地貢獻珍貴稀奇的物品時，漢和帝就邀請班昭作賦贊揚.班昭知識淵博，品德俱優.當時的大學者馬融，為請求班昭指導，曾跪在東觀藏書閣外，聆聽班昭講解，班昭去世后，皇后也為之素服舉哀.

二 奧雷姆和一次函數

在西方，關于坐標的概念可追溯到古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262-公元前190）.然而，第一個給出一次函數關系者應是法國數學家奧雷姆（1320-1382）.此前，人們一直認為真理（規律）只有在靜止狀態下才能總結出來，故而未能用函數圖象表示出變量之間的關系.

奧雷姆（圖1）早年求學丁巴黎大學，1348年開始在納瓦拉學院學習神學，并取得神學碩士學位.后來奧雷姆成為牧師（后為主教），同時他也是一位大學教授，在西方，中世紀的學者多半是神職人員，他們有充分的研究時間，生活來源也有保障，還有機會接觸到各種典籍、文獻，而奧雷姆還有一個優越條件，就是他得到了國王的大力支持.

奧雷姆對變量問題進行了研究.他認為，可測的量皆為模擬量，還認為如時間或長度等無論如何分割和截取其性質均不會改變，奧雷姆詳細地分析了勻加速直線運動.他用一條水平直線（相當于橫坐標軸）表示時間（圖2），直線上每一個點代表一個時刻.每個時刻對應著一個速度，該速度可以用一條過此點的豎直線段來代表，其長度正比于速度的大小，速度隨著時間均勻地增大，故線段長度也均勻地增長，其端點構成一條直線（即一次函數的圖象）.該直線、水平直線和表示初速度、末速度的線段圍成了一個梯形.若初速度為0，則形成三角形，其面積就是物體在時間t內所通過的距離的一半.

奧雷姆所應用的方法已接近于現代解析幾何，他使用圖形表示隨時間t而變化的量v1，而且把t和v1分別稱為“經度”（相當于橫坐標）和“緯度”（相當于縱坐標）.這在當時是個了不起的創造，

三 笛卡兒坐標系

有人認為，笛卡兒是個“偶然的”數學家.因為他創立解析幾何是受夢的啟示.在一般的教科書上，通常是把數字和圖形區別開來講的.但在數學發展史上二者不是對立的，甚至還相互結合了起來，故從某種意義上說，二元一次方程與一次函數是一回事兒.笛卡兒于1637年給出了其創立解析幾何的宗旨：

我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何（指歐幾里得幾何），即不再去考慮那些僅僅是用來練習思想的問題，這樣做是為了研究另一種幾何（指解析幾何），其根本目的是解釋自然現象.

笛卡兒分析和比較了當時的幾何學和代數學的研究方法，雖然幾何學的直觀性易于展示某些事物的性質，但笛卡爾對歐幾里得幾何中每個證明都要求有某種奇巧想法而深感不安，笛卡兒看到了代數學具有成為普遍科學方法的潛力，并認識到了其程序具有機械化和減小工作量之價值.他認為，當時的代數學受到了公式和法則的嚴重束縛，完全不像是一門改進思想的科學，由此笛卡兒主張汲取代數學和幾何學的精華，使之相互融會貫通.笛卡兒的一個創新思想是規定：因數字可用線段長度表示，故兩個用線段表示的數字之間的計算結果也應當是一條線段的長度.在當時，幾何學普遍認定“線段×線段=面積”，但笛卡兒創造出了“線段×線段=線段”.解析幾何的出發點就是將變量數值化.如在數學式子y=3x+l中，x的變化會引起y的變化（函數關系），x是一個獨立變量，不受其他因素的影響，而y是一個從屬變量.x和y的所有取值（或運動軌跡）就形成了一條直線.這是關于一次函數的最初認識，然而在直角坐標系下，x和y的地位是平等的，因而表達式與y=3x+1表示的是同一個函數關系，在圖形上是同一條直線.盡管笛卡兒未使用“函數”這個術語，但其解析幾何思想引發了數學思維的一場重大變革，

運動和變化是宇宙的本質特征.但是，整個宇宙不可能是一支訓練有素、步伐整齊的行進隊伍，因而很多變化難以用一次函數來描述.宇宙也是個無限的過程.只有用適于一組有限事實的特殊概念，來推測出適于全部事實的一般概念，才能從有限認識無限，從個別認識一般，從特殊認識普遍.故從線性到非線性的跨越中，一次函數可謂功績非凡.