利用一次函數(shù)探究設(shè)計方案

一次函數(shù)能夠刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量之間的關(guān)系，不等式則能刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量之間的不等關(guān)系.它們聯(lián)袂解決現(xiàn)實生活中的方案設(shè)計以及投資費用最低、獲利最高等問題，成為中考中的一道亮麗的風(fēng)景線.有關(guān)的試題背景鮮活，能考查學(xué)生的閱讀理解能力和分析推理能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，下面擷取數(shù)例加以剖析，供參考，

例，（2014年·黔南）已知某廠有A種金屬70噸，B種金屬52噸，現(xiàn)計劃用這兩種金屬生產(chǎn)M.N兩種型號的合金產(chǎn)品共80000套.已知做一套M型號的合金產(chǎn)品需要A種金屬0.6kg，B種金屬0.9kg，可獲利潤45元；做一套N型號的合金產(chǎn)品需要A種金屬1.1kg，B種金屬0.4kg，可獲利潤50元.設(shè)生產(chǎn)N種型號的合金產(chǎn)品的套數(shù)為x，用這批金屬生產(chǎn)這兩種型號的合金產(chǎn)品所獲得的總利潤為y元

（l）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍.

（2）在生產(chǎn)這批合金產(chǎn)品時，Ⅳ型號的合金產(chǎn)品生產(chǎn)多少套時，該廠所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

解：（l）y=50x+45（80 000-x）=5x+3600000.

由題意，得

解得40000≤x≤44000.

∴ y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=5x+3600000（40000≤x≤44000）.

（2）因k=5>0，故y隨x的增大而增大.當x=44000時，得y最大=3820000.

即生產(chǎn)N型號的合金產(chǎn)品44000套時，該廠所獲得的利潤最大，最大利潤是3820000元.

評注：利用一次函數(shù)解決最大利潤問題，一般是根據(jù)題目中提供的條件選取一個與利潤有關(guān)的變量，先列出關(guān)于這個變量的一次函數(shù)關(guān)系式，然后再求出這個變量的取值范圍，雖然一次函數(shù)的圖象是一條直線，但當自變量限定在某一范圍內(nèi)時，兩個端點處的函數(shù)值就是其最大值或最小值.

例2（2014年·武漢）康樂公司在A，B兩地分別有同型號的機器17臺和15臺，現(xiàn)要運往甲地18臺，乙地14臺.從4，B兩地運往甲，乙兩地的費用如下表所示：

（1）如果從A地運往甲地x臺，求完成以上調(diào)運所需的總費用y（元）與x（臺）的函數(shù)關(guān)系式.

（2）該公司完成以上調(diào)運至少需要多少費用？為什么？

解：（l）本題提供的信息縱橫交錯，一個是A，B兩地機器的臺數(shù)以及甲，乙兩地所需機器的臺數(shù)，另一個是從A，B兩地運往甲，乙兩地的費用，

結(jié)合圖1與表l，容易得出調(diào)運所需的總費用y（元）與x（臺）的函數(shù)關(guān)系式：

y=600x+500（17-x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13300.

（2）總運費y是關(guān)于x的一次函數(shù)，k=500>0，故y隨著x的增大而增大.由題意可得如下的不等

∴ 當x=3時，有y最小=500x3+13300=14800.

所以，該公司完成以上調(diào)運至少需要14800元運費.最佳方案是：由A地調(diào)3臺至甲地，14臺至乙地，由B地調(diào)15臺至甲地.

例3 （2014年·廣安）廣安某水果店計劃購進甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共140千克.這兩種水果的進價、售價如表2所示：

（1）若該水果店預(yù)計進貨款為1000元，若進貨款恰好花完，則這兩種水果各購進多少千克？

（2）若該水果店決定乙種水果的進貨量不超過甲種水果的進貨量的3倍，則應(yīng)怎樣安排進貨才能使水果店在銷售完這批水果后獲利最多？此時利潤為多少元？

解：（1）設(shè)購進甲種水果x千克，則購進乙種水果（140-x）千克，根據(jù)題意可得Sx+9（140-x）=1000，解得x=65.

乙種水果購進140-x=75（千克）.

（2）因為乙種水果的進貨量不超過甲種水果的進貨量的3倍，所以140-x≤3x，解得x≥35.

觀察表格可得：甲種水果每千克的利潤為8-5=3（元），乙種水果每千克的利潤為13-9=4（元）.設(shè)總利潤為W元，由題意可得：W=3x+4（140-x）=-x+560.

故當x=35時，有W最X=-35+560=525.此時購進乙種水果140-35=105（千克）.

例4 （2014年·四川）我市某西瓜產(chǎn)地組織40輛汽車裝運A，B，C三種西瓜共200噸到外地銷售，按計劃，40輛汽車都要裝運西瓜，每輛汽車只能裝運同一種西瓜，且必須裝滿.根據(jù)下表提供的信息，解答后面的問題.

（1）設(shè)裝運A種西瓜的車輛數(shù)為x，裝運B種西瓜的車輛數(shù)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如果裝運每種西瓜的車輛都不少于10輛，那么車輛的安排方案有幾種？請寫出每種安排方案.

（3）在（2）的條件下，若要使此次銷售的獲利達到25萬元，應(yīng)采取哪種車輛安排方案？

解：（1）由題意，裝運A種西瓜的車輛數(shù)為x，裝運B種西瓜的車輛數(shù)為y，則裝運C種西瓜的車輛數(shù)為40-x-y.故有4x+5y+6（40-x-y）=200.整理得y=40-2x.

（2）由（1）可知，裝運A，B，C三種西瓜的車輛數(shù)分別為x，40-2x由題意得

∴x的值是10，11，12，13，14，15.安排方案有6種，見下表.

（3）設(shè)此次銷售的利潤為W（百元），則W=4x×16+5（40-2x）x10+6xx12=2000+36x.

若2000+36x≥2500，則

故x=14或x=15，故選方案五或方案六.