一次函數(shù)與三角形面積

提到求三角形的面積，我們首先想到的會(huì)是直接使用面積公式：三角形面積=底×高÷2.但在函數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)碰到一些底或高不容易求的三角形（這樣的三角形我們不妨稱之為“不規(guī)則三角形”），這時(shí)直接用面積公式并不會(huì)奏效，對(duì)此，我們要有意識(shí)地去運(yùn)用一種新的求面積的方法——割補(bǔ)法.其實(shí)，不論是直接法（公式法）還是間接法（割補(bǔ)法），其中的關(guān)鍵都在于找出或構(gòu)造出有關(guān)的三角形的底和高，

一次函數(shù)與三角形的面積相結(jié)合，考查方式主要有以下兩類.

一、根據(jù)條件求不規(guī)則三角形的面積

常用的解題方法是“割補(bǔ)法”，即先將所給的三角形分割成兩個(gè)（或更多個(gè)）三角形，再利用公式分別求出小三角形的面積，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面補(bǔ)上一個(gè)特殊的幾何圖形，然后用該幾何圖形的面積減掉其他補(bǔ)出的小三角形的面積.規(guī)則三角形的面積可直接運(yùn)用公式求出，我們不再贅述.

例1 如圖1，一次函數(shù)y=的圖象過(guò)點(diǎn)A（4，3），且與x軸交于點(diǎn)B.設(shè)C（3，1），求△ABC的面積.

分析：該三角形是不規(guī)則三角形，其面積用公式不好直接求，所以使用間接法，可將△ABC分割成兩個(gè)三角形.如過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線，構(gòu)造出同底的兩個(gè)三角形，然后再結(jié)合A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出面積，

解：過(guò)點(diǎn)C作CD//y軸，交直線AB于點(diǎn)D，如圖2.

將A（4，3）代入一次函數(shù)解析式中，可解得

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)然，也可以過(guò)C點(diǎn)作x軸的平行線，將△ABC分成上下兩個(gè)三角形，如圖3.這種割的方法與例1中的方法本質(zhì)上是相同的，就是讓分割出來(lái)的三角形的底和高與坐標(biāo)軸平行，另外，我們也可以將該不規(guī)則三角形通過(guò)“補(bǔ)”的方法放在一個(gè)規(guī)則的幾何圖形中，然后用大幾何圖形減去多出的幾個(gè)小幾何圖形來(lái)求出面積，如圖4所示，分別過(guò)點(diǎn)A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，D，所以

三、根據(jù)三角形的面積求坐標(biāo)或解析式

在這種考查方式下，將面積表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵.至于是用公式法還是用割補(bǔ)法，可根據(jù)條件具體分析.需要注意的是，所求點(diǎn)的坐標(biāo)或直線的解析式往往不止一個(gè)，因此要有分類討論的意識(shí).

例2 如圖5，點(diǎn)A（1，6），B（m，1）在一次函數(shù)y=kx+7的圖象上.AD⊥x軸于點(diǎn)D，BC⊥x軸于點(diǎn)C.在x軸上是否存在一點(diǎn)E.使△ABE的面積為57若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：這類求點(diǎn)的坐標(biāo)的題目，往往需要分類討論，因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)可能會(huì)不止一個(gè).本題中，雖然點(diǎn)E在x軸上并且△ABE的面積一定，但是如果點(diǎn)E相對(duì)于其他已知點(diǎn)的位置不同，那么面積的表達(dá)形式就會(huì)不同，

解：將A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+7.

將B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.設(shè)E（n.0）.一次函數(shù)的圖象與x軸交于M點(diǎn)，則M（7，0）.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D，M之間時(shí)，如圖6.

解得n=5，故E（5，0）.

（2）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，如圖7.

解得n=5，故E（5，0）.但這與題設(shè)矛盾，故點(diǎn)E不可能在點(diǎn)D的左側(cè).

（3）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)M右側(cè)時(shí)，如圖8.

解得n=9，故E（9，0）.

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0）或（9，0）.

點(diǎn)評(píng)：本題中△ABE的面積的表示，還是采用了間接法，只不過(guò)不是“割補(bǔ)法”，而是“大減小”，即利用現(xiàn)有圖形，求出一個(gè)大圖形的面積，然后減掉其他幾個(gè)小圖形的面積.這種解法同學(xué)們也一定要掌握，

側(cè)3 已知直線y=x+3與x軸和y軸交于A，B兩點(diǎn).直線2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與線段AB交于點(diǎn)C，把△AOB的面積分為2：1的兩部分.求直線f的解析式，

解：由題意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)我們不能確定兩個(gè)圖形的面積誰(shuí)大誰(shuí)小時(shí)，一定要想到分類討論.

練習(xí)：

1.一次函數(shù)y=x+3的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）.

A.6

B.3

C.9

D. 4.5

2.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，并與y軸交于點(diǎn)B（O，-4）.點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若△AOB的面積為6.則一次函數(shù)的解析式為______.

3.如圖11所示.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與正比例函數(shù)y=-x的圖象交于點(diǎn)B.求一次函數(shù)圖象、正比例函數(shù)圖象與x軸圍成的三角形的面積.

4.一次函數(shù)V=kx +b的圖象經(jīng)過(guò)A（2，3），B（-3，一2）兩點(diǎn).若P是y軸上的一點(diǎn)，且使△ABP的面積是5.求OP的長(zhǎng).

5.一次函數(shù)v-kx-k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2）.設(shè)一次函數(shù)y=kx-k的圖象與y軸交于點(diǎn)B.若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且滿足△PAB的面積是4，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案：

1.D

2.y=-x-4或（提示：以O(shè)B為底，則高為3.點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為±3）

3.1（提示：先根據(jù)正比例函數(shù)的解析式確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1），然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式）.

4.1或3（提示：先求出一次函數(shù)的解析式，設(shè)該一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為C，將△ABP的面積分解為△ACP的面積與△BCP的面積之和，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).注意分類討論，還有一點(diǎn)需要注意，就是求出點(diǎn)P的坐標(biāo)后，不要習(xí)慣性地以為就結(jié)束了，要寫出OP的長(zhǎng)才可以）.

5.（3，0）或（-1，0）（提示：將三角形以x軸為分界線，分為兩個(gè)三角形進(jìn)行計(jì)算）.