一次函數中常用的數學思想

數學思想是數學知識的重要組成部分，是解決數學問題的靈魂和精髓.在學習中，一定要重視對常用數學思想的挖掘、提煉和應用.下面，舉例說明一次函數中常用的數學思想，

一、轉化思想

轉化思想是指在解泱問題時，把注意力和著眼點放在問題的結構上，透過現象看本質，適當地調整和改變原有的思維方式，以使問題得到解決.

例l（2014年·婁底）一次函數y=kx-k（k<0）的圖象大致是（）.

分析：這里含有字母k，故可利用選擇題的特點用特殊值法來處理.

解：由k<0，可取一個滿足要求的k代人，如取k=-2，則v=-2x+2.作H{草圖可知其圖象經過第一、二、四象限，因此選A.

點評：本題固然也可借助于一次函數的性質來推理：因k<0，故-k>0，所以一次函數y=kx-k的圖象經過第一、二、四象限，但對于含“字母”的函數的圖象識別問題，借助特殊值來確定答案往往更直觀.

二、整體思想

整體思想，就是在解決某些數學問題時，由整體人手，通過觀察和分析，找出整體與局部的有機聯系，從整體上把握問題.

例2 若y+b與x+a（a，b為常數）成正比例，且，當x=3時y=5，當x=2時y=2.求y與x的函數關系式.

解：由條件可得y+b=k（x+a），即y=kx+（ka-b）因為x=3時y=5，x=2時y=2，所以有解得.所以所求的函數關系式是y=3x-4.

點評：這里應用整體思想求出了ka-b的值.要想直接求出a，b的值是做不到的.

三、分類思想

在解決有關一次函數的問題時，應考慮到所有的可能情況.在必要時，應進行分類討論，以保證結果的準確性、完整性，用分類討論解題時應注意：（1）要明確分類的對象以及分類的標準；（2）所分各類之間既不重復，也不遺漏；（3）最后要對各類結果歸納總結.

例3 （2014年·自貢）已知一次函數y=kx+b.若當1≤x≤4時，3≤y≤6，則的值是______.

分析：當k的符號不同時，一次函數的增減性也不同，x與y的對應關系也不同.

解：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大.因當1≤x≤4時，3≤y≤6，故當x=1時，y=3；當x=4時，y=6.

（2）當k<0時，y隨戈的增大而減小，因當l≤x≤4時，3≤y≤6，故當x=l時，y=6；當x=4時，y=3.

同理可得

綜上，答案為2或-7.

四、方程思想

方程思想是指把一個數學問題通過恰當的途徑轉化為方程（組），從而使問題得到解決的數學思想方法，

例4 （2014年·黔西南）甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑500m，先到達終點的人原地休息.已知甲先出發2s.在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y（m）與乙出發的時間x（s）之間的關系如圖2所示.給出以下結論：①a=8；②b=92；③c=123.其中正確的結論是（）.

A.①②③

B.①②

C.①③

D.②③

分析：易知乙出發時，兩人相距8m，除以時間2s即為甲的速度，由于出現了兩人距離為0的情況，那么可知乙的速度較快.乙100s跑完總路程500m，可得乙的速度，進而求得100s時兩人的距離，可得b的值，由兩人距離為0列出方程，可得到相應的時間a讓乙到達終點時兩人的距離除以甲的速度，再加上100，即為c的值.

解：甲的速度為8÷2=4（m/s），乙的速度為500÷100=5（m/s）；6=5xl00-4x（100+2）=92： 5a-4x（a+2）=0，解得a=8；c=100+92÷4=123.所以正確的有①②③，選A.

五、數形結合思想

數形結合思想是指將數量與圖形結合起來，分析、研究、解決問題的一種思想方法，利用數形結合思想解決與函數有關的問題時，可以迅速發現解題思路，

例5（2014年·煙臺）如圖3，已知函數y=2x+b與函數y=kx-3的圖象交于點P，則不等式kx- 3>2x+b的解集是____.

解：觀察圖象可知，當x<4時，直線y=kx-3在直線y=2x+b的上方，所以不等式kx-3>2x+b的解集是x<4.

點評：本題也可以將點P（4，-6）代入到兩個函數解析式，求出b和k的值，再解不等式得到答案.但運用數形結合的思想，可以從圖象上直接“看”出不等式的解集，既簡捷又不易出錯.