關于函數的一些補充知識

同學們在學習《一次函數》這一章時，初步認識了一個描述變化規律的重要數學工具——函數，下面，在教科書的基礎上再補充介紹一些有關函數的知識，供學有余力的同學參考，

一、一元函數與多元函數

1.一元函數

現實生活中處處可見變量.有些問題中只涉及兩個變量，而且它們互相聯系.例如，某種大米的價格為2元/kg，買5kg大米要花10元，買10kg大米要花20元，買15kg大米要花30元……隨著購買大米質量的變化，所付錢數也在變化.這里，“購買大米質量”與“所付錢數”是兩個不同的變量，它們之間存在著對應關系，

在初中數學教科書中，函數的定義如下：

在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么x叫做自變量，y叫做x的函數.

上面例子中，“購買大米質量”就是一個自變量，可以把它記為x，“所付錢數”若記為y，y=2x是x的函數.正如只有一個未知數的方程叫做一元方程，只有一個變量是白變量的函數叫做一元函數，這里的“元”是指自變量，一元函數是反映兩個變量之間的對應關系的數學概念.y是以x為自變量的一元函數，可以用符號記為y=f（x），這里的f表示函數關系，它來自英文function.目前，初中數學中討論的函數都屬于一元函數.

2.多元函數

有些問題中涉及三個或更多的變量間的對應關系.在一個變化過程中，如果對于n個變量X1，X2…，Xn的每一組確定的值，另一個變量y都有唯一確定的對應值，那么X1，X2，…，Xn叫做自變量，y叫做X1，X2，…，Xn的函數，可以記作y=f（x1，x2，…，xn）.有n個自變量的函數叫做n元函數.例如，隨著長方形的長a和寬b取值的變化，長方形的面積S會發生變化.當a=2，b=1.5時，5=3；當a=5，b=3時，S=15……這里的a，b是兩個自變量，S=ab是一個二元函數.類似地，隨著長方體的長a、寬b、高c取值的變化，長方體的體積v會發生變化，當a=3，b=2，c=l時，V=6：當a=5，b=3，c=2時，V=30……這里的a，b，c是三個自變量，V=abc是一個三元函數.

二元以上的函數叫做多元函數，多元函數是反映一個變量與一組變量（兩個或更多的變量組成的自變量組）之間的對應關系的數學概念.在討論多個因素影響一個變量的問題時，多元函數可以發揮作用.

二、函數的表示法

在學習函數的概念時，不要因為函數一詞中有“數”這個字，就以為函數也像整數、分數、有理數等是某類數的名稱，其實，函數指的是一個變化過程中的某個變量，它相對于另一個變量（自變量）有唯一確定的對應關系.表示一個函數，實際上就是要反映這種對應關系.

教科書中已經介紹了函數的通常的三種表示方法，即列表法、圖象法和解析式法，這三種方法各有千秋.根據不同的問題背景和需要，可以選擇適當的方法來表示函數.有時，三種方法可以互相轉化，例如由函數解析式y=2x+l，可以列表表示x和y的某些具體的對應值，也可以畫出一條直線作為函數圖象.但有時三種表示法并不能互相轉化.例如，圖1是某氣象站的自動測溫儀記錄的一天中的氣溫變化情況，它以氣溫曲線的形式反映了氣溫與時間這兩個變量之間的對應關系.由它可知這一天中每一時刻的氣溫，這里，是用圖象表示氣溫是時間的函數，但由它很難寫出這個函數的解析式.

解析式法以式子的形式反映變量之間的對應關系，是數學巾表示函數的主要形式.一般地，對于用解析法表示的函數，通過取特殊值、列表，用描點法可以繪出函數圖象.然而，也存在可以用解析式表示而不能繪出具體圖象的函數，例如，，是用解析式表示的一個特殊函數，當自變量x是有理數時y=2x，當x是無理數時y=x+1.由于實數軸上的有理數點與無理數點都是處處存在而又處處不連續的，所以我們只能想象出這個函數的圖象由在兩條直線的位置上的無數個間斷點排列而成的，但不能確切地繪出具體的圖象.

三、多項式函數與一次函數

1.多項式函數

我們學習過多項式的概念.如果用x表示字母，則一元n次多項式的一般形式為其中是常數，并且.形式為的函數叫做n次多項式函數，其中字母x表示自變量，是常數，并且.例如，分別是三次函數和二次函數，多項式函數是最基本的一類代數函數，其自變量的取值范圍為全體實數.

2.一次函數

次數是1的多項式函數，即y=kx+b（其中k，b是常數，并且k≠0），如y=2x+1，y=-x-5，等，叫做一次函數，一次函數是最簡單的多項式函數，

一次函數v=kx+b的圖象是一條直線（可以稱它為直線y=kx+b），而其他多項式函數的圖象都是非直的曲線（如二次函數的圖象是拋物線）.因此，一次函數也叫做（直）線性函數.

一次函數y=kx+b中，當x=0時，y=b.由此可知，直線y=kx+b與y軸交于點（0，b），于是常數b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，以函數y=x+l，y=-x+1，y=2x+l，y=-2x+1的圖象（圖2）為例，可以發現：當k>0時，直線y=kx+b從左向右上升；當k<0時，直線y=kx+b從左向右下降.|k|越大，直線越“陡”，總之，常數k的值決定了直線y=x+b的傾斜方向和傾斜程度，于是k叫做直線y=kx+b的斜率，斜率和截距能表示y=kx+b中兩個常數的幾何意義，所以y=kx+b也叫做直線的斜截式，它在大家以后要學的解析幾何中常常用到.

四、自變量值與函數值

1.由自變量值確定函數值

從函數的概念可知，對于自變量x的每一個確定的取值，函數y都有唯一確定的值與之對應.這種對應關系反映了兩個變量之間的數學聯系，其中白變量是起主導作用的變量，當函數的解析式確定后，由x的值求y的值就是用代入法求值的問題.例如，用代入法很容易算出，函數y=4x-20在x=-2和x=3時的值分別是-28和-8.

2.由函數值考慮自變量值

與上面的問題相反，有些問題是考慮自變量取何值時函數值是事先設定的值，即限定函數y的值，反過來求自變量x相對應的值，例如，求自變量x的值是多少時，（1）函數y=4x-20的值是24；（2）函數y=4x-20的值是負數.容易想到，這樣的問題可以通過解方程4x-20=24和解不等式4x-20<0來解決，用圖3中的一次函數圖象可以直觀地解釋解方程、解不等式與函數值、自變量值之間的聯系.這提示我們：對以前學習過的方程和不等式，都可以從函數的角度進行再認識.這種再認識不是簡單的回顧，而是用更具廣泛意義的函數概念來包容方程和不等式，即把方程和不等式問題看作是函數問題的一部分，從而增強對數學知識的整體性的認識，

對于所有函數，從自變量值到函數值是單值對應的，即當白變量取一個值時，只有一個函數值與之對應，其幾何意義是：如果能畫出函數圖象，則平行于y軸的任一直線與函數圖象至多有一個交點.然而，從函數值到自變量值則未必是單值對應的，對于某些非一次函數的函數，限定一個函數值，可能有不止一個白變量的值與之對應.例如，若要使函數y=4x2-2的值為2，自變量x的值可以取l或-1.如果畫出這個函數的圖象，則平行于x軸的直線與函數圖象可能會有不止一個交點（圖4）.對于一次函數，限定一個函數值，則只有唯一的自變量的值與之對應.其幾何意義是：一次函數的圖象是不平行于x軸的直線，任一平行于x軸的直線與一次函數的圖象只有一個交點.

五、顯函數與隱函數

比較等式和4y-3y=6，可以發現雖然兩式的表達形式不同，但是對于表示x與y的關系，它們卻具有相同的意義.從其中任一式子，可以推出另一式子.

像這樣的等式，一邊是單獨一個字母y，另一邊是關于字母x的解析式，可以明顯地表示y是x的函數，所以這種式子叫做顯函數的表達式，像4x-3y=6這樣的等式，雖然不是顯函數形式，但是隱含了兩個變量之間的某種函數關系，所以這種式子叫做隱函數的表達式.有些表面上看不出與函數有關的問題，其實包含了隱函數關系，于是可以轉化為與函數相關的問題來解決.例如，解二元一次方程組如果能看出兩個方程都是隱函數，它們分別對應于一次函數與y=-2x+3，就能夠想到：解這個二元一次方程組，可以轉化為畫出兩個函數的圖象，看看它們的交點在哪里.交點的坐標（x0，yo）同時滿足兩個函數關系式，因而就是兩個方程的公共解，于是，有如圖5所示的圖象解法，得方程組的解為x=1.5，y=0.

讀過以上內容后，你對函數有了更多的認識了嗎？