壓軸題解答：行進在求“簡”的道路上

壓軸題解答：行進在求“簡”的道路上

☉浙江省杭州市明珠實驗學校宋芳

在中考試卷中，壓軸題是“攔路虎”，影響著學生答卷的心情和答卷的速度.此類考題一般涉及的考點較多，具有較強的綜合性，是中考中區分度最大的試題，是學生的應試難點.在試題類型上，填空題、選擇題和解答題均有壓軸問題.解答題的壓軸題，一般為全卷最后一題，由一個題干和多個問題組成，問題之間難度不斷增加.中考時，解答這道壓軸題一般在規定時段的最后階段，解答的時間并不充裕.所以，很多學生沒能給出解題過程或者給出“帶病”的解題過程.為了改變這一現狀，筆者對近期幾次模擬考試中學生給出的壓軸題解答狀況進行了分析，找到了一些應對的策略，現將其呈現出來，希望能給您的教學帶來一些啟示.

一、解題方法要凸顯“簡捷”

自從學生開始數學認知活動，追求“簡捷”解法，一直貫穿于學生的數學學習活動之中.小學中的簡便計算和初中解法優選，都在培養著學生的“求簡”意識.在很多數學問題的解答中，學生的“求簡”意識會自然生成，成為解題的“慣性”行為.對壓軸題的解答而言，“求簡”意識的激活顯得十分重要.究其原因有二：一是考試時間有限，簡捷的解題路徑會節約大量的考試時間；二是有限的答題空間，需要學生盡可能寫出在得分點上的解題步驟.所以，我們應鼓勵學生盡可能給出化解壓軸題的簡捷方法，用最少的時間和最簡捷的解題方法給出最規范的解題過程.

案例1：二次函數解析式的求法“優選”.

題目如圖1，二次函數y=-x2＋bx＋c的圖像與x軸交于點A（-1，0） B（2，0），與y軸相交于點C.

（1）求二次函數的解析式；

（2），（3）略.

考情簡析：二次函數的解析式一共有三種形式，分別是“一般式”y＝ax2+bx+c（a≠0）、“頂點式”y＝a（x-h）2+k（a≠0）和“交點式”y＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.在模擬考試中，三種表達式的優選也就成為了一個“考點”，幾乎每一次考試中都會出現.這次模擬考試中，有學生根據“二次函數y=-x2+bx+c的圖像與x軸相交于點A（-1，0）、B（2，0）”，列出了方程組解得最終得出二次函數的解析式為y=-x2+x+2；還有學生根據“二次函數y=-x2+bx+c”這一條件，得到了交點式y＝a（x-x）1（x-x）2中的a＝-1，然后直接寫出了解析式為y＝-（x＋1）（x-2）；還有學生根據“A（-1，0），B（2，0）”先求出了該拋物線的對稱軸為x＝，然后設其為頂點式y＝，再從點A、B中選擇一點代入求出k，即得到解析式.

圖1

案例分析：“根據題目給出的點優選表達式求二次函數的解析式”，是學生解答“以二次函數為背景的壓軸問題”的必備技能.在本題的求解中，學生分別用三種表達式給出了不同的解題方法.從案例中給出的三種解法不難發現，用“交點式”求解是最為簡捷的.用這種方法求解的同學，從一般式入手，比對y＝ax2+bx+c（a≠0）和y=-x2+bx+c發現其中的a為-1，然后直接將a的值和兩個交點的橫坐標代入y＝a（x-x1）（x-x2）就得出了所要求的二次函數的解析式，這樣的解題過程幾乎沒有運算的參與，只需學生仔細分析題意，將三種表達式與所給的解析式比對即可發現最終的解析式.而其他的解法要么是列方程組、解方程組，要么是對條件進行轉化先得出對稱軸，解題方法變得復雜了不少，當然耗時也就不會太少了.

教學啟示：從上面的分析不難看出，二次函數解析式的選擇與題目所給出的條件有著很大的關系，“析點優選”應該成為學生化解“求二次函數解析式”問題的慣性行為.為此，復習課上，我們可以通過適量的題組訓練，在三種解析式之間進行比對，讓學生發現不同表達式求解的優勢，從而養成“析點優選”的習慣，逐步內化為解題經驗，并在解題中“外顯”為解題行為.

二、情境重建應追求“簡約”

壓軸題的問題情境一般都十分豐富，既有文字信息，又有符號信息，還有圖形信息.在復雜的問題情境之下，一般會設置不少于兩個問題.問題之間有些是遞進關系的，前面問題的結論成為后面問題化解的條件，還有些是并列關系的，前面問題的化解為后面問題的化解提供方法和技巧上的引領.但無論是怎樣的問題設置方式，我們都應該指導學生適時地對問題情境進行“重建”，以求用“簡約”的情境為后續問題的化解做鋪墊.

案例2：一道壓軸題的“情境重建”.

題目如圖2，在平面直角坐標系中，O為坐標原點.直線y=kx+b與拋物線同時經過點A（0，3）、B（4，0）.

圖2

（1）求m，n的值；

（2）點M是二次函數圖像上的一點（點M在AB下方），過點M作MN⊥x軸，與AB交于點N，與x軸交于點Q.

①求MN的最大值；

②是否存在點N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

考情簡析：第（1）題的解答較為簡單，絕大多數學生都能給出正確的解題過程和“m=1，n=3”的結論；第（2）題的第①小題并不難，在求出直線AB的解析式最終得出“當x=2時，MN取得最大值為4”的大約有一半學生；第（2）題的第②小題，有了前面的結論按理應該能夠順利得解，但由于很多同學沒能將前面的結論轉化為解題的條件，問題的情境沒能有效地重建，復雜的文本和圖形信息導致很多同學不能順利找到化解問題的思路，從而導致出錯較多.

教學啟示：通過適量的訓練，讓學生感知“情境重建”在解題時的巨大作用，并培養學生自主簡化解題情境的能力.就以上面的這道題目為例，第（2）題的第②小題的求解情境可以進行如下重建.

圖3

如圖3，點A（0，3），B（4，0），點N為線段AB上的一個3后，求得動點，NQ⊥x軸，點Q為垂足.是否存在點N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

對比原來的問題情境和重建后的問題情境，我們不難發現，只要抓住問題的本質，從解題需要入手，原來的結論將會被直接轉化為求解的條件，思路分析自然會清晰不少，給出正確的解題過程也就在情理之中了.

三、過程書寫要力求“簡潔”

解題就如寫文章一樣，要重點突出，主次分明.細細分析同學們給出的壓軸題的求解過程，筆者很有感觸.一些同學寫了很多的解題步驟，數量上給人以充實的感覺，然而判分時卻一分不得；一些同學只給出了很少的解題步驟，卻在質量上取勝，獲得了高分.這就告訴我們，壓軸題的解答過程的呈現要力求“簡潔”，過程直指問題化解的核心步驟，不啰嗦，不拖泥帶水，可有可無的內容盡可能不出現在答題區域，避免步驟數量遮蓋了內在的質量.

案例3：一道壓軸題的過程點評.

（一名同學解答案例2中的壓軸題的過程）

教師：請同學們認真觀察，并說說這樣的解題過程有哪些優點？還有什么不足的地方？

學生1：他能將答題區域進行“規劃”，按照“從左往右，自上而下”書寫解題過程，這是很值得我們學習的.

學生2：列方程組求直線AB的解析式時，解方程組的過程被省略了，直接寫出了k和b的值，縮寫的是“待定系數法”的關鍵步驟.

學生3：我感覺第（2）題的第①小題中求MN的長時，列出式子后，他還將配方的完整過程寫下來了，這好像有點多了！

教師：你們同意嗎？

學生4：同意！這一小題的解題目標是“求MN的最大值”，根據代數式配方是求解的一個環節并非解題目標，在書寫解題過程時，配方過程完全可以寫在草稿紙上，只需直接給出“-（x-2）2＋4”的結果就行了，他寫得真的有點多了.

學生5：第（2）題的最后一問，他做得還是很不錯的.抓住兩個三角形中的直角，以直角邊的對應關系為依據進行分類討論，這是我沒有想到的.

學生6：是的.他抓住“∽”的對應關系，分別給出兩個比例式，接下來的列方程就十分便利了.

教師：真不錯！大家結合這個解題過程發表了自己的見解，我們要將這一過程中體現出的良好習慣繼續發揚下去，對大家指出的不足“有則改之，無則加勉”.寫簡潔的過程，是我們解答壓軸題的追求，在這條道路上，我們要加倍努力，找到簡捷的解題方法，寫出省時、省地但又不失分的過程將成為我們中考復習的重要任務.

案例分析：壓軸題的解答不僅受時間限制，在空間上也有很高的要求.一般地，在網上閱卷后，命題者會圈出一個矩形區域用于學生呈現解題過程.所以，解答壓軸題，不僅要追求簡捷的方法，還要力求呈現出最有效的解題步驟.案例3中，教者讓學生從已有的解題過程入手，將交流建立在“鮮活”的案例之上，先期自主解答過程的經歷，確保了學生能“自我比對”，暢談投影“優劣”，讓解題交流“言之有物，言而有效”.從交流的成效看，分析解題優點，強化了學生對良好習慣的解題價值的體驗；理清存在的問題，突出了共性“不足”的交流，從而引起全體學生的關注，養成主動規避問題的自覺意識.

教學啟示：壓軸題教學是數學教學的難點，在中考前的復習課上，我們應設計指向中考的教學.解題過程的書寫，自然也應成為復習教學的重要內容.為此，我們可以從學生的解題過程入手，讓學生自己用發現的眼光分析已有的解題過程，剖析優劣，在漸進訓練中養成良好的解題過程書寫習慣，為謀求中考有效得分夯實基礎.

在中考中，壓軸題的高難度讓很多同學失去了求解的信心.為了幫助學生打破為難情緒，順利找到化解問題的方法，并給出在“得分點”上的有效步驟，我們應立足復習課堂，以講評引領提升.在追求“簡捷”的解題方法中，讓學生養成“走近路”的自覺意識；在追求“簡約”的情境重建中，讓學生形成“避干擾”的解題策略；在追求“簡潔”的解題過程中，讓學生形成“述關鍵”的解題行為.中考壓軸題求解是一個反復探究的過程，需要思維的不斷矯正與思路的反復調整，既關乎學生的知識與技能，也與學生的基本活動經驗有關，此外，個體的情緒、素養在此過程中也起著重要的作用.因此，壓軸題教學要關注的方面除了本文中的這些，還有很多方面，期待著您能一并參與到研究中來，也懇請您能夠對本文中的不足提出寶貴的意見和建議.

1.吳光華.情境“提純”——函數壓軸題求解的有效策略［J］.中學數學（下），2014（4）.

2.劉緒田，劉現民.探索性中考題的解答策略［J］.中學數學雜志（初中版），2007（2）.H