函數(shù)題求解的幾個注意點
——以一道壓軸題為例

函數(shù)題求解的幾個注意點
——以一道壓軸題為例

☉江蘇省南通市通州區(qū)新壩初級中學(xué)張小龍

圖1

題目如圖1，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（6，0），B（-2，0）和點C（0，-8）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖像的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當(dāng)△KCM的周長最小時，點K的坐標(biāo)為_______；

（3）連接AC，有兩個動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動，當(dāng)P、Q兩點相遇時，它們都停止運(yùn)動，設(shè)點P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S.請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍.

分析：本題該編自2013年內(nèi)蒙古呼和浩特卷，原題共三小題，五小問.在入卷時，命題者將原來的第（3）問第1小題和第3小題刪去，將第2小題文字進(jìn)行調(diào)整，形成了這里的第（3）問.改編前的試題為呼和浩特卷的壓軸題，改編后，保留了原來試題的“精華”，為全卷最后一題.新題重點考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖像、軸對稱、三角形的面積、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)及解直角三角形等知識.此外，還考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合和方程等數(shù)學(xué)思想方法.具體解法，這里不作贅述了.

這道題出現(xiàn)在我校近期進(jìn)行的中考模擬考試中，絕大多數(shù)同學(xué)沒能給出這道題完整的解題過程，而且近乎一致地認(rèn)為原因是“時間太緊，來不及解答”.按理來說，命題者對考試內(nèi)容與考試時間都會進(jìn)行認(rèn)真的“匹配”，本不該出現(xiàn)這種“大面積”來不及求解的情形.為了一探究竟，筆者將這道題的解答情況進(jìn)行了分析，將發(fā)現(xiàn)的問題逐一梳理，以問題討論的形式進(jìn)行了專題交流.現(xiàn)將筆者梳理出的提綱與您做個交流，希望能給您的解題與教學(xué)帶來一些啟示.

一、靈活選用二次函數(shù)解析式

二次函數(shù)的解析式形式多樣，既有源于概念的一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c（a≠0），又有在探究性質(zhì)過程中獲得的頂點式y(tǒng)＝a（x-h）2+k（a≠0），還有在問題解決過程中歸納得到的交點式y(tǒng)＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.不同的表達(dá)式，具有不同的特點，這就為解決求函數(shù)解析式、求拋物線的頂點坐標(biāo)、求拋物線與坐標(biāo)軸的交點等數(shù)學(xué)問題提供了多種選擇.在解決這些問題時，選擇出最適合的表達(dá)式，將會簡化求解過程，節(jié)約解題時間.以文頭的這道題為例，所給的三個點中，A、B是拋物線與x軸的交點.所以，我們可以“設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x-6）（x＋2）”，然后再將點C代入即可求得a＝，耗時1分鐘左右.而事實上，很多同學(xué)看到了三個點就想到了一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c（a≠ 0），列出了一個三元一次方程組再去解這個方程組，顯然，沒有個三五分鐘是得不到答案的.再如，問題（2）中要求二次函數(shù)的頂點M，如何求？是不是一定要用頂點式？以筆者來看未必，抓住A、B兩點的對稱性，先求出對稱軸x＝2，這實際上就是M的橫坐標(biāo)，將其代入到y(tǒng)＝x-6）（x＋2）中，會非常順利地得到縱坐標(biāo)-.假如我們不用此法，而是將y＝x-6）（x＋2）變形為一般式y(tǒng)，然后再配方成去求頂點M，這樣的耗時不會少于3分鐘，實在不值.顯然，解析式的優(yōu)選還是能夠節(jié)約不少時間的.

二、“填空”無需呈現(xiàn)過程

在模擬考試及中考中，會出現(xiàn)一些“填空型”綜合問題.之所以這樣做，不僅是為了讓分值便于分配，更是為了節(jié)約答題空間.所以，在解答“解答題中的填空題”時，是不需要給出解題過程的，所有求解步驟一律簡寫在自己的草稿紙上.實際上，在這次模擬考試中，很多學(xué)生將第（2）問的過程在答題紙的答題區(qū)域內(nèi)寫得十分詳細(xì).由于在答題紙上書寫要比在稿紙上書寫要認(rèn)真不少，所以學(xué)生耗費(fèi)了不少的解題時間.同時，認(rèn)真的書寫讓答題區(qū)域“充實”了很多，讓該寫的解題過程無處可寫.網(wǎng)上閱卷時，那些寫在規(guī)定區(qū)域外面的“必寫過程”自然無法進(jìn)入老師的視野，失分也就不可避免了.

三、“無圖能解”不作圖求解

再來說說第（2）問，這道題的解題思路十分清晰.根據(jù)對稱性可求得點C關(guān)于x軸的對稱點C′的坐標(biāo)，然后求出直線C′M的解析式，在此基礎(chǔ)上，求直線C′M與x軸的交點，這也就是題中要求的點K.顯然，這里的解法是純粹的代數(shù)方法，在思路分析過程中，圖形基本沒有參與其中，也就是說，是否作出點C′、直線C′M和點K對解題思路的分析和解題過程的呈現(xiàn)并沒有太大的影響.在這次模考中，很多同學(xué)在圖1中作出了相應(yīng)的點和線，在他們給出這一小題的正確答案的同時，也帶來了不小的負(fù)面效應(yīng).與不作圖相比，耗時較多自不必說，由于點和線的增加，讓圖形復(fù)雜了不少，這給他們的下一步求解產(chǎn)生了很大的干擾，失誤頻出.所以，筆者認(rèn)為，在解答這類“無圖能解”的考題時，不作圖不失為一個好的選擇.

四、“無用”圖形應(yīng)省去

在壓軸題的求解進(jìn)程中，隨著探究的不斷深入，很多條件和結(jié)論已經(jīng)不再需要了.此時，就應(yīng)該對文字和圖形進(jìn)行必要的調(diào)整.圖形重建，簡化了求解的情境，強(qiáng)化了必備條件，讓問題的探究更為順利.那么，該如何實現(xiàn)“簡化”和“強(qiáng)化”呢？筆者認(rèn)為，對“無用”圖形的刪減足以讓有用信息凸顯，這就是一種強(qiáng)化.所以，新建圖形前，我們應(yīng)對原有圖形進(jìn)行徹底“掃描”，發(fā)現(xiàn)“無用”的點、線，在建構(gòu)新圖時讓它們徹底“消失”.解答上面的第（3）問，只要學(xué)生認(rèn)真分析，就一定會發(fā)現(xiàn)圖1中的拋物線、點B、點M都是“無用”的，這些點和線大可不必出現(xiàn).事實上，在這次考試中，很多同學(xué)都在新圖中將這些“無用”的點和線進(jìn)行了認(rèn)真地“描繪”.在講評時，筆者呈現(xiàn)的符合第3問要求的圖2～圖4，讓學(xué)生感受到了“簡約”的魅力，圖形簡單了，關(guān)鍵信息凸顯出來，解題思路的得出也就順暢了.

圖2

圖3

圖4

當(dāng)然，學(xué)生不能給出這道模考壓軸題解題過程的原因還有很多.比如，少數(shù)同學(xué)解答第（1）問時就出現(xiàn)計算錯誤，繁雜的運(yùn)算讓他們失去了繼續(xù)求解的信心；有些同學(xué)前面的試題解答出現(xiàn)了很多本文中所列的這些耗時現(xiàn)象，這道題看都沒來得及，根本談不上求解了；還有一些同學(xué)過多關(guān)注了不在得分點上的過程的書寫，雖然寫出了很多的解題步驟，但得分卻不多，很多不必要的過程浪費(fèi)了寶貴的解題時間，來不及也就在情理之中了……面對如此多的錯因，我們應(yīng)從常態(tài)教學(xué)入手，關(guān)注解題細(xì)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生形成優(yōu)選解題途徑的意識，關(guān)注“點的優(yōu)選和解析式的優(yōu)選”，養(yǎng)成優(yōu)選二次函數(shù)解析式的習(xí)慣；我們還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣，讓他們弄清題目的求解要求，哪些過程該寫，哪些過程可以省略，力求該寫的“一字不差”，不該寫“點滴不留”，讓問題解決的關(guān)鍵步驟留在答題區(qū)域；還有，我們應(yīng)重視學(xué)生解題技能的訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生對信息的捕捉能力、甄別能力和整合能力的培養(yǎng)，讓他們學(xué)會從復(fù)雜的信息中捕捉到有用的信息，在文字與圖形的整合中找尋到問題解決的最佳途徑.

1.彭業(yè)凱，楊麗.探求動態(tài)圖形面積與運(yùn)動變量的函數(shù)關(guān)系［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2011（9）.

2.張肖.在運(yùn)動中分析，在變化中求解——2013年中考數(shù)學(xué)動點型壓軸題歸類例析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.H